ANALISI SUPERIORE 1 ( cod. 19052)

1. Cenni sugli spazi L^p. Definizioni e proprietà elementari. Completezza di L^p. Convoluzioni e regolarizzazioni. Il teorema di Young. Teoremi di densità. Criterio di compattezza forte in L^p. 2. Gli spazi di Sobolev. Una prima motivazione allo studio degli spazi di Sobolev. Definizione di derivata debole e confronto con il concetto di derivata distribuzionale. Prime proprietà degli spazi di Sobolev. Il teorema di Friedrichs. Caratterizzazione degli spazi W^{1,p}(A). Formula di derivazione del prodotto di funzioni e del prodotto di composizione. Approssimazione con funzioni regolari in R^N. Approssimazione con funzioni regolari in A. Operatori di prolungamento. Convoluzioni e spazi W^{1,p}(A). Teoremi di densità. Gli spazi di Sobolev W^{m,p}(A) (m>1 e intero). Il concetto di supporto di una funzione di L^1_{loc}(A). Lo spazio W_0^{m,p}(A). Disuguaglianze di Sobolev e teoremi di immersione. Disuguaglianza di Poincaré. Il concetto di traccia di una funzione negli spazi di Sobolev. 3. Alcuni problemi ai limiti. Soluzione debole, regolarità e legami con la soluzione classica. Formulazione variazionale di alcuni problemi ai limiti ellittici. Il teorema di Lax e Milgram. Regolarità della soluzione debole. 4. Operatori compatti.