ANALISI SUPERIORE 1 ( cod. 19052)

1. Spazi di Sobolev. Derivate distribuzionali e derivate deboli. Spazi di Sobolev W^{k,p}. Gli spazi di Sobolev come spazi di Banach. Duale degli spazi di Sobolev. Approssimazione locale e globale di funzioni di Sobolev. Lo spazio W_0^{k.p}. Calcolo differenziale per funzioni di Sobolev. Caratterizzazione delle funzioni di Sobolev mediante rapporti incrementali. Funzioni di Sobolev di una variabile. Teoremi di estensione e tracce. Teoremi di immersione: disuguaglianze di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev e Morrey. Teoremi di immersione per spazi di Sobolev di ordine superiore. Compattezza debole e teorema di Rellich-Kondrachov. Disuguaglianze di Poincare'. 2. Teoria spettrale per operatori compatti e autoaggiunti. Operatori compatti. Teoria di Fredholm. Rappresentazione spettrale di operatori compatti e autoaggiunti. 3. Equazioni ellittiche lineari del secondo ordine; teoria L^2 Soluzioni deboli, forti e classiche. Problema di Dirichlet. Formulazione variazionale. Teorema di Lax-Milgram. Esistenza ed unicita' delle soluzioni deboli. Regolarità H^2 delle soluzioni deboli.