FONDAMENTI DELLA MATEMATICA ( cod. 07584)

Capitolo 1. Breve storia della Geometria Perché iniziare lo studio dei Fondamenti della Matematica dalla Geometria. L’antichità mediterranea Geometria in Egitto. Geometria in Mesopotamia La Geometria in civiltà non mediterranee. Matematica cinese. Matematica indiana. La Geometria in Grecia prima di Euclide. L’Elenco dei geometri I teoremi Euclide e la sua opera. Euclide Gli Elementi. Rapporti tra le opere di Euclide e di Aristotele. La Scienza deduttiva di Aristotele Successo degli Elementi e della Scienza deduttiva. Analogie e differenze tra Elementi e Scienza deduttiva Geometria come insieme di enunciati. Postulati di realtà e verità. Postulato di deduttività. Postulato di evidenza per termini. Postulato di evidenza per enunciati. Eguaglianza in Aristotele e in Euclide Il termine uguale negli Elementi Uguaglianza come sovrapposizione Omogeneità. Uguaglianza di rapporti. Il ruolo delle definizioni in Aristotele e in Euclide Quindi, Euclide La Geometria in Grecia dopo Euclide Archimede Apollonio di Perge Tarda grecità. Conclusione. Capitolo 2. Gli strumenti deduttivi Il lascito greco Sinossi storica della Logica greca. Strumenti logici euclidei Il contributo di Aristotele Brani dagli Analitici primi Le analisi dei commentatori Il sillogismo e i suoi aspetti strutturali. I termini. Le figure. Quantità e qualità Il quadrato delle proposizioni e la loro tavola di verità Le regole per i sillogismi Termini presi universalmente Le regole sui termini e le proposizioni I modi del sillogismo I modi della prima figura. I modi della seconda figura. I modi della terza figura. I modi della quarta figura. Le trasformazioni dei sillogismi. Le differenti proposte delle Summulae logicales. Il caso dei sillogismi con conclusione particolare. Castillon. Gli aspetti estensionali del sillogismo. La matematizzazione di Leibniz – I diagrammi di Eulero Analisi estensionale di alcuni sillogismi. Barbara, Barbari. Cesare, Cesaro. Bocardo. Fresison Il calcolo delle proposizioni. Il calcolo delle proposizioni nell’antichità greca Dal Medioevo in poi. Capitolo 3. Verità, validità e dimostrabilità – Il caso della Geometria I nei di Euclide. La veste sintattica delle Geometrie non euclidee Vero, valido, teorema. Capitolo 4. Il contributo di Boole alla logica. Prima di Boole La situazione dell’Algebra nel Regno Unito La Logica inglese prima di Boole L’opera logica di De Morgan L’opera di Boole Influenza della disputa tra De Morgan e William Hamilton. Impostazione della Logica di Boole Il calcolo di Boole Un breve confronto tra le opere d Boole e di De Morgan Logica di Boole dopo Boole. I nei di Boole Jevons Venn e altri Peirce e Schröder Capitolo 5. Introduzione degli insiemi ed approccio logicista Cantor e la ‘nascita’ degli insiemi. Modifica dello scenario Il contributo di Cantor L’infinito La nozione astratta di insieme I numeri cardinali e le loro proprietà Tre problemi con i numeri cardinali. I numeri ordinali e le loro proprietà. Gli assiomi impliciti della teoria degli insiemi Frege. L’opera di Frege. Gli obiettivi di Frege La polemica contro l’empirismo La polemica contro lo psicologismo Frege e Kant La polemica contro il formalismo. Altre polemiche Il calcolo logico di Frege Il linguaggio Assiomi e regole Estensione ed intensione Capitolo 6. Il problema dei fondamenti Il metodo assiomatico Hilbert e le Grundlagen Le idee di fondo delle Grundlagen L’impianto assiomatico delle Grundlagen Alcuni commenti agli assiomi Lo sviluppo delle Grundlagen Coerenza Gli assiomi come definizioni Un periodo di crisi Le antinomie Il Paradosso di Russell La lettera di Russell Il ruolo della relazione di appartenenza I casi ‘riflessivi’ della relazione di appartenenza Russell e i barbieri La reazione di Frege Altre antinomie Il Paradosso di Berry Il paradoss