MATEMATICA I ED ESERCITAZIONI ( cod. 1004190)

1. I numeri reali. Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore; parte intera e modulo dei numeri reali; potenze, radici, radici n-esime dei numeri non negativi; numeri razionali e irrazionali; intervalli, distanza. Numeri complessi. Principio di induzione. 2. Funzioni. Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, funzione inversa; grafici; funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni trigonometriche. 3. Cenni di algebra lineare e geometria analitica nello spazio. Spazi vettoriali, vettori linearmente indipendenti, basi; matrici; applicazioni lineari; diagonalizzabilita' di una matrice; sistemi lineari; rette e piani nello spazio. 4. Successioni e serie. Successioni e loro limiti; successioni definite per ricorrenza; serie a termini positivi e criteri per la loro convergenza. 5. Limiti. Limiti di funzioni con valori reali, unicità del limite, limiti delle restrizioni; limite della somma, del prodotto, del quoziente di due funzioni; teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto; limite destro e sinistro; limiti delle funzioni monotone. 6. Funzioni continue. Continuità di funzioni reali di variabile reale, restrizioni di funzioni continue, composizione di funzioni continue; somma, prodotto, quoziente di funzioni continue; discontinuità, esempi di funzioni discontinue; teorema degli zeri; continuità e intervalli; continuità e monotonia; continuità delle funzioni inverse; teorema di Weierstrass. 7. Calcolo differenziale. Rapporti incrementali, derivate, derivate destre e sinistre; significato geometrico delle derivata; regole di derivazione: derivate della somma, prodotto, quoziente di due funzioni; derivate di funzioni composte e di funzioni inverse; derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi; punti stazionari; relazione tra monotonia e segno della derivate; teoremi di Rolle, Lagrange e loro interpretazione geometrica, teorema di Cauchy e di De l'Hopital; funzioni convesse, derivate delle funzioni convesse, relazione tra convessità e segno della derivata seconda; studio di massimi e minimi locali col calcolo delle derivate. 8. Integrali. Partizioni di un intervallo; integrale superiore ed inferiore, Integrabilita' delle funzioni continue; interpretazione geometrica dell'integrale; proprietà degli integrali; media di una funzione integrabile; integrali su intervalli orientati; teorema fondamentale del calcolo integrale; primitive, integrali indefiniti; integrazione per parti e per sostituzione; integrali di funzioni razionali. 9. Equazioni differenziali. Equazioni differenziali a variabili separabili; equazioni differenziali lineari del primo ordine con coefficienti continui; equazioni differenziali lineari di ordine n con coefficienti costanti.