ISTITUZIONI DI MATEMATICA ( cod. 02556)

Numeri naturali, interi, razionali e reali: definizione, operazioni, proprietà delle operazioni e delle potenze con esponente razionale. Gli intervalli e gli intorni della retta reale. Equazioni, disequazioni, valore assoluto. Funzioni: definizione, dominio, codominio e immagine. Funzioni iniettive, surgettive, biunivoche, l'inversa di una funzione biunivoca. Composizione di funzioni: definizione e proprietà, proprietà e unicità dell'inversa. Grafico di una funzione. Funzioni algebriche (polinomiali): funzioni lineari, quadratiche, monomiali, interpolazione di dati, funzioni pari e dispari. Funzioni monotone: (non) crescenti, (non) decrescenti, invertibilità di una funzione monotona. Estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo di un sottoinsieme di R, funzioni limitate, punti di massimo e minimo (locale/relativo e globale/assoluto) di una funzione reale. Limiti e continuità: definizione (al finito ed all'infinito), limite destro e limite sinistro, proprietà e calcolo dei limiti, forme indeterminate per prodotto, somma e quoziente. Continuità di una funzione reale:definizione, continuità delle funzioni polinomiali razionali, asintoti orizzontali e verticali. Teoremi su limiti e continuità: continuità della composizione, Weierstrass, esistenza degli zeri, permanenza del segno, teorema dei valori intermedi, invertibilità delle funzioni continue, continuità dell'inversa, teorema del confronto. Funzioni trascendenti: funzioni esponenziali e logaritmiche, funzioni trigonometriche, definizione, calcolo, proprietà (iniettività, surgettività, funzioni inverse, continuità), interpolazione di dati. Calcolo differenziale: rapporto incrementale e suo significato geometrico, derivata di una funzione, derivata destra e sinistra, derivabilità e continuità, derivate di funzioni algebriche e trascendenti. Calcolo delle derivate: derivata di somma, prodotto, quoziente, composizione e inversa. Teoremi di Fermat, Rolle, Cauchy e Lagrange. Applicazioni: calcolo di limiti con la regola di de l'Hopital, approssimazione con lo sviluppo di Taylor, studio qualitativo del grafico di una funzione, monotonia, ricerca di massimi e minimi, concavità e convessità, asintoti. Calcolo integrale: definizione di integrale, funzioni integrabili, linearità ed additività dell'integrale. Funzioni primitive: definizione e proprietà, formule di integrazione di funzioni algebriche e trascendenti, integrale definito e integrale indefinito, primo e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale, teorema del valor medio. Metodi di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione. Integrali impropri. Altri argomenti (statistica, probabilità, equazioni differenziali) potrebbero trovare spazio nel corso delle lezioni, in tal caso provvederò ad aggiornare immediatamente il programma (il cui nucleo fondamentale rimarrà comunque quanto già indicato).