Obiettivi formativi
Il corso prevede lo studio di sistemi di varia natura che presentano comportamenti complessi, con l'obiettivo di trovare le leggi ‛fenomenologiche' che regolano il comportamento globale di tali sistemi.
Saranno illustrati diversi modelli teorici e tecniche, sia analitiche che numeriche, per la loro caratterizzazione e saranno discusse applicazioni nel campo della fisica, della biologia, dell'informatica e dell'economia.
Data l'interdisciplinarietà e le molteplici ricadute applicative degli argomenti trattati, il corso è consigliato per tutti gli indirizzi.
Prerequisiti
Nozioni fondamentali della Meccanica statistica
Corsi di Analisi e Metod
Contenuti dell'insegnamento
- Introduzione ai sistemi complessi
- Richiami di meccanica statistica
- Effetti del disordine
- Spin-glass
- Reti neuronali
- Applicazioni in sociologia, biologia, immunologia
Programma esteso
1. INTRODUZIONE AI SISTEMI COMPLESSI
2. RICHIAMI DI MECCANICA STATISTICA
- Cenni di teoria della probabilità. Variabili aleatorie e loro algebra. Stati, stati puri e miscele. Principi della termodinamica da approccio probabilistico
- Stati DRL e rottura spontanea di simmetria. Argomento di Peierls. Modello di Ising in approssimazione campo medio, modello di Curie-Weiss
- Transizioni di fase: fenomenologia, teorema di Lee-Yang, classificazione di Erhenfest. Sistemi al punto critico, universalità e scaling. Teoria di Landau. Parametri d'ordine.
- Ergodicità e dinamica
- Metodi analitici avanzati per modelli ferromagnetici in campo medio e analogie con sistemi meccanici
3. GLI EFFETTI DEL DISORDINE
- Disordine topologico: Criterio di Harris, singolarità di Griffith.
- Cenni ai modelli diluiti.
- Teoria dei grafi e applicazioni. Proprietà spettrali di grafi finiti e infiniti. Modelli statistici e diffusione su grafi.
4. SPIN-GLASS
- Frustrazione. Modelli e classi. Applicazioni e problemi di ottimizzazione.
- Modello Sherrington-Kirkpatrick. Esistenza del limite termodinamico. Repliche fittizie e reali, overlap tra repliche.
- Il Replica Trick. La soluzione Replica simmetrica. La soluzione 1RSB, KRSB e full-RSB.
- Metodo di cavità e stabilità stocastica.
- La teoria di Parisi. Ultrametricità.
- Tecniche di interpolazione e approccio meccanico.
- Cenni di dinamica: Ageing e relazioni di fluttuazione-dissipazione.
5. RETI NEURONALI
- Background neurofisiologico.
- Modelli Integrate&Fire.
- Cable theory.
- Perceptrone. Modelli di reti neuronali ad attrattori. Modello di Hopfield. Dinamica Sincrona e Asincrona. Percezione, Riconoscimento e Richiamo. Connessioni sinaptiche: simmetria e regola di apprendimento hebbiana. Stati di richiamo, stati spuri.
- Reti a basso carico: Approccio di campo medio e analisi segnale-rumore.
- Reti ad alto carico: Approccio di campo medio, Black-out, Capacità di memoria. Diagramma di fase.
- Pattern correlati e pattern diluiti. Reti a calcolo parallelo estensivo soprapercolate.
6. APPLICAZIONI
Reti immunitarie: rete idiotipica (tolleranza a basso dosaggio, risposta bell-shaped, ontogenesi del repertoire), rete B-T (anergia, multitasking). Reti sociali (teoria di Granovetter).
Bibliografia
- Dispense del docente
- Statistical Mechanics, D. Ruelle
- An Introduction to Probability Theory and its applications, W. Feller
- Spin glass theory and beyond, M. Mezard, G. Parisi, M. Virasoro
- Introduction to Theoretical Neurobiology, H. Tuckwell
- Modeling Brain Function, D. Amit
Metodi didattici
Lezioni, esercizi (sia in aula che a casa)
Modalità verifica apprendimento
Esame orale
Altre informazioni
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