Obiettivi formativi
L’interazione fra statistica, probabilita' e finanza è un processo continuo: la soluzione dei problemi statistici è la condizione necessaria per valutare gli elementi di incertezza dei mercati.
La probabilita' e' lo strumento necessario per modellizzare l'incertezza nei mercati.
Il corso si propone di fornire gli strumenti di base più idonei per l’analisi e la modellizzazione di alcuni aspetti fondamentali del mercato monetario e finanziario. Una particolare attenzione verrà rivolta nel primo modulo alle serie storiche di fenomeni finanziari: tassi di cambio, tassi di interesse, prezzi e rendimenti azionari, prezzi e rendimenti di strumenti derivati. Nel secondo modulo lo studente apprendera'
i principi della valutazione per arbitraggio e della completezza del mercato
e la modellizzazione matematica in un modello elementare di mercato finanziario. Lo studente avra' inoltre familiarita' con la rappresentazione delle preferenze di un decisore razionale e con la costruzione di un portafogli ottimo in un mercato di cui siano noti rendimenti e (co)varianze dei titoli quotati.
Prerequisiti
Matematica generale e finanziaria.
Statistica di base.
Contenuti dell'insegnamento
MODULO 1: Teoria elementare di processi stocastici per serie stazionarie
1. Richiami di elementi di probabilita' per vettori aleatori.
2. Trasformazione di variabili casuali univariate e multivariate.
3. Processi Gaussiani e processi White Noise.
4. Cenni ai processi non stazionari di tipo Random Walk
/ Evidenze empiriche delle serie storiche osservate
1. Caratteristiche empiriche delle serie storiche di rendimenti finanziari. Formule di aggregazioni di rendimenti multi-periodo.
2. La forma di distribuzione dei rendimenti. Test di simmetria, curtosi e normalita'.
3. La dipendenza temporale (lineare e non lineare) dei rendimenti. Funzione di autocorrelazione e test di significativita' associati.
4. Processi AutoRegressivi per serie stazionarie di rendimenti e di trasformate ad esse associate.
/ Cenni alle analisi dei trend dei prezzi di borsa e medie mobili
MODULO 2
Introduzione alla probabilita': i vari approcci. L'approccio assiomatico.
Probabilita' condizionata e teorema di Bayes. Numeri aleatori continui e discreti. Vettori aleatori. Generalita' sui mercati finanziari. Mercato finanziario uniperiodale. Teoremi fondamentali della finanza. Prezzo di titoli derivati.
Introduzione alla teoria dell'utilita' attesa. La selezione del portafogli: modello di Markowitz.
Programma esteso
MODULO 1
Teoria elementare di processi stocastici per serie stazionarie
1. Richiami di elementi di probabilita' per vettori aleatori.
2. Trasformazione di variabili casuali univariate e multivariate.
3. Processi Gaussiani e processi White Noise.
4. Cenni ai processi non stazionari di tipo Random Walk
/ Evidenze empiriche delle serie storiche osservate
1. Caratteristiche empiriche delle serie storiche di rendimenti finanziari. Formule di aggregazioni di rendimenti multi-periodo.
2. La forma di distribuzione dei rendimenti. Test di simmetria, curtosi e normalita'.
3. La dipendenza temporale (lineare e non lineare) dei rendimenti. Funzione di autocorrelazione e test di significativita' associati.
4. Processi AutoRegressivi per serie stazionarie di rendimenti e di trasformate ad esse associate.
/ Cenni alle analisi dei trend dei prezzi di borsa e medie mobili
MODULO 2
Introduzione alla probabilità. Approccio classico, frequentista, soggettivista.
Approccio assiomatico. Spazio dei risultati. Eventi aleatori, algebra/σ-algebra degli eventi.
Assiomi della probabilità. Probabilità condizionata. Teorema di Bayes.
Numeri aleatori: misurabilità. Funzione di ripartizione.
Numeri aleatori discreti, funzione di probabilità.
Numeri aleatori continui, funzione di densità di probabilità.
Valore atteso, varianza e deviazione standard. Momenti di un numero aleatorio.
Vettori aleatori. Numeri aleatori
stocasticamente indipendenti.
Covarianza e correlazione tra due numeri aleatori.
Mercati finanziari: generalità. Mercati uniperiodali: caso senza interessi e con interessi. Mercati completi e incompleti. Legge del prezzo unico. Arbitraggi del I e II tipo. Vettore dei prezzi degli
stati e probabilità neutre al rischio. Teoremi fondamentali della finanza.
Titoli derivati. Opzioni call e put: parità call-put. Contratti a termine. Prezzi a termine. Introduzione alla teoria dell’utilità attesa. Gli assiomi
di von Neumann e Morgenstern e il Teorema dell’utilità attesa. Selezioni di portafogli: il principio Media-Varianza. Il modello di H. Markowitz: il caso non singolare e il caso singolare.
Bibliografia
MODULO 1: Dispensa su tutti gli argomenti del corso
MODULO 2
E. CASTAGNOLI, Brevissimo Abbecedario di Matematica Finanziaria, scaricabile dalla sezione "materiali didattici" o disponibile presso il Centro fotocopie della Facoltà.
E. CASTAGNOLI, M. CIGOLA, L. PECCATI, Probability. A Brief Introduction, 2° edizione, Egea, 2009
Metodi didattici
Durante il corso verrano esposti in maniera rigorosa i contenuti teorici. Ad essi sara' affiancata un'ampia discussione di esempi ed esercizi, con particolare attenzione a quelli di carattere piu' finanziario. La partecipazione degli studenti sara' sollecitata nella risoluzione di tali esercizi.
Modalità verifica apprendimento
Esame in forma scritta, basato su problemi e
quesiti teorici sugli argomenti svolti.
Sono previste durante lo svolgimento del corso delle prove in itinere in sostituzione dell'esame finale.
Altre informazioni
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