ISTITUZIONI DI MATEMATICHE
cod. 08610

Anno accademico 2007/08
1° anno di corso - Primo semestre
Docente
Settore scientifico disciplinare
Logica matematica (MAT/01)
Field
Discipline matematiche, fisiche e informatiche
Tipologia attività formativa
Base
56 ore
di attività frontali
7 crediti
sede:
insegnamento
in - - -

Obiettivi formativi

Il corso intende fornire le basi matematiche indispensabili per  un corso di laurea scientifico.

Prerequisiti

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Contenuti dell'insegnamento

<p> Insiemi: relazione di appartenenza. Sottoinsiemi, insieme delle parti, insieme vuoto. Operazioni con insiemi: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, complementare. Insiemi dati per elencazione, per proprietà caratteristica. Diagrammi di Eulero–Venn. <br />
<br />
Proposizioni e valori di verità. Connettivi e quantificatori. <br />
<br />
Prodotto cartesiano di due o piú insiemi. Relazioni di equivalenza e d'ordine (cenni). <br />
<br />
Insiemi numerici. Polinomi. Equazioni e disequazioni <br />
<br />
Insiemi numerici (N, Z, Q, R, C) e loro proprietà principali. <br />
Operazioni, chiusura rispetto alle operazioni. Proprietà delle operazioni: proprietà commutativa ed associativa di addizione e moltiplicazione, proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. Opposto e reciproco. Elementi neutri. Valore assoluto. <br />
<br />
Ordinamento totale degli insiemi N, Z, Q, R. Compatibilità dell'ordine con le operazioni. <br />
<br />
Proprietà dei numeri reali: la completezza. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo. <br />
<br />
Polinomi. Operazioni sui polinomi, potenze. Radici di polinomi di primo e secondo grado. Equazioni e disequazioni polinomiali e col valore assoluto, razionali e irrazionali. <br />
<br />
Sistemi di equazioni lineari: metodi elementari di risoluzione. <br />
<br />
<br />
Geometria della retta e del piano. <br />
<br />
<br />
Numeri reali e geometria della retta. <br />
<br />
Geometria del piano cartesiano. Distanza fra due punti del piano cartesiano. <br />
<br />
Rappresentazione analitica di rette, di circonferenze e di coniche (in forma canonica). Condizioni di parallelismo e di perpedicolarità di due rette. Distanza di un punto da una retta. <br />
<br />
<br />
Funzioni <br />
<br />
<br />
Definizioni e proprietà. Dominio, codominio, immagine. Immagine inversa. Grafico di una funzione. <br />
<br />
Grafici delle funzioni elementari. Funzione identica, funzioni costanti, funzioni lineari e affini, potenze con esponente fissato y = xa, valore assoluto, segno, parte intera, parte frazionaria. Funzioni polinomiali. <br />
<br />
Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di funzioni. Funzione inversa. <br />
<br />
Funzioni monotòne, strettamente monotòne. Funzioni pari, dispari. Inversa di una funzione monotòna. Monotonia delle potenze. <br />
<br />
Potenze a esponente razionale. Funzioni esponenziale e logaritmo e loro grafici. Proprietà delle potenze. Funzione esponenziale: i casi a > 1 ed aÎ (0,1). La funzione logaritmo come inversa dell'esponenziale. Cambiamenti di base. Equazioni e disequazioni con le funzioni esponenziale e logaritmo. <br />
<br />
Misura degli angoli in radianti. Definizione, proprietà e grafici delle funzioni circolari elementari. Formule di addizione, duplicazione, bisezione. Inverse delle funzioni circolari, loro grafici e proprietà. Equazioni e disequazioni goniometriche. <br />
<br />
<br />
Successioni <br />
<br />
<br />
Successioni definite per ricorrenza o con assegnato termine generale. Applicazioni in dinamica di popolazione. <br />
<br />
Definizione di limite. Teorema dell'unicità del limite e della permanenza del segno. Successioni monotòne. Operazioni con i limiti. Limite di alcune particolari successioni. <br />
<br />
<br />
Calcolo Differenziale <br />
<br />
<br />
Funzioni reali di variabile reale. Dominio e codominio. Limiti agli estremi del dominio. <br />
<br />
Funzioni continue in un punto, in un insieme. Definizione di limite. Teoremi dell'unicità del limite e della permanenza del segno. Proprietà delle funzioni continue. Esistenza del limite per funzioni monotòne. Teorema di esistenza degli zeri e teorema di Bolzano–Weierstrass. <br />
<br />
Rapporto incrementale, derivata in un punto. Interpretazione geometrica della derivata e retta tangente. Relazione fra derivabilità e continuità. Funzione derivata. Derivata di somma, prodotto, rapporto e composizione di due funzioni. Derivate delle funzioni elementari. Teoremi sulle derivate (Rolle, Lagrange, Cauchy). <br />
<br />
Segno della derivata e monotonia. Studio di funzioni. Problemi di massimo e minimo. Concavità e convessità. Derivata seconda e punti di flesso. <br />
<br />
Teorema di de l'Hôpital. Applicazione al calcolo dei limiti. <br />
<br />
Approssimazione locale di funzioni con polinomi. Teorema di Taylor e formula di Taylor con resto. <br />
<br />
<br />
Calcolo Integrale <br />
<br />
<br />
Aree e misura. Il problema inverso della derivazione. <br />
<br />
Integrale di Cauchy per funzioni di una variabile reale. Condizioni necessarie e sufficienti per l'integrabilità. <br />
<br />
Integrabilità delle funzioni monotòne e delle funzioni continue. <br />
<br />
Funzione integrale. Proprietà: additività e monotonia. Media di una funzione continua. Teorema della Media. <br />
<br />
Insieme delle primitive di una funzione continua. Relazione fra primitive, funzione integrale e aree. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Metodi di integrazione: sostituzione, parti. <br />
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Programma esteso

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Bibliografia

Giuseppe De Marco, Analisi Zero, Decibel–Zanichelli. <br />
<br />
Giovanni Prodi, Istituzioni di Matematica, McGraw–Hill. <br />
<br />
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Matematica Calcolo infinitesimale e Algebra Lineare, Zanichelli, Bologna <br />
<br />
Michiel Bertsch, Istituzioni di Matematica, Bollati Boringhieri. <br />
<br />
P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Calcolo, Liguori. <br />
<br />
Alessandro Zaccagnini & Maria Gabriella Rinaldi, Esercizi per i corsi di Istituzioni di Matematica, Azzali Editori, Parma, seconda edizione, 2006. <br />
<br />

Metodi didattici

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Modalità verifica apprendimento

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Altre informazioni

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