Obiettivi formativi
Il corso presenta alcune delle idee e degli strumenti di base dell'analisi moderna, a partire dalla teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue per proseguire con l'analisi funzionale lineare in spazi di Banach. Queste idee e risultati sono applicati allo studio di alcuni problemi classici di analisi reale.
Prerequisiti
Solida conoscenza di calcolo differenziale e integrale per funzioni di una e piu' variabili
reali, algebra lineare e topologia.
Contenuti dell'insegnamento
Elementi di teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue e dell'analisi funzionale lineare in spazi di Banach e di Hilbert.
Programma esteso
1) Misura e integrazione astratta. Misura e integrale di Lebesgue in R^n.
2) Misure reali e teorema di Radon-Nikodym.
3) Spazi di Banach e operatori lineari limitati.
4) Spazi di Banach di funzioni continue. Teorema di Stone-Weierstrass.
5) Spazi L^p e duali.
6) Teoremi di Hahn-Banch, dell'applicazione aperta e principio di uniforme limitatezza.
7) Spazi di Hilbert.
8) Serie di Fourier: convergenza puntuale e teoria L^2.
9) Spazi localmente convessi.
10) Topologia debole e debole*.
Bibliografia
W. Rudin, "Real and complex analysis", McGraw-Hill Inc., New York 1987;
W. Rudin, "Functional analysis", McGraw--Hill Inc., New York 1991;
G. B. Folland, "Real analysis", J. Wiley & Sons, New York 1999;
E. Hewitt -- K. Stromberg, "Real and abstract analysis", Springer-Verlag, New York 1975.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni individuali (5 ore per settimana).
Modalità verifica apprendimento
Prova scritta e colloquio orale.
Altre informazioni
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