Obiettivi formativi
Conoscenze e capacita' di comprendere:
Al termine dell’attività formativa lo studente dovrebbe aver acquisito conoscenze e competenze relative allo studio qualitativo di modelli differenziali.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Attraverso lo studio dei numerosi modelli differenziali presentati a lezione lo studente apprende come applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi concreti di modellistica. Al termine del corso, lo studente sarà in grado di applicare autonomamente gli strumenti acquisiti alla formulazione e allo studio di semplici modelli applicativi.
Autonomia di giudizio:
Lo studente dovra' essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o da altri.
Capacita' comunicative:
Durante il corso sarà curata in modo particolare l’acquisizione di un linguaggio formalmente corretto e verrà stimolata la capacità di esprimere contenuti in modo chiaro e lineare.
Lo studente dovra' quindi essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici relativi al programma svolto. Le lezioni frontali e il confronto diretto con il docente favoriranno l'acquisizione da parte dello studente di un lessico scientifico specifico e appropriato.
Capacità di apprendimento:
Lo studente dopo aver seguito il corso sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze nell'ambito della modellistica differenziale, partendo dalle conoscenze basilari e fondamentali fornite dal corso. Sarà in grado
di consultare in modo autonomo testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni, al fine di affrontare efficacemente l'inserimento nel mondo del lavoro o intraprendere percorsi di formazione successivi, nei quali sia richiesto l'uso della modellistica matematica.
Prerequisiti
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Contenuti dell'insegnamento
Il corso intende fornire un'introduzione alla modellistica matematica mediante equazioni differenziali. I principali argomenti trattati sono i seguenti:
Sistemi dinamici: definizioni e proprietà elementari. Il concetto di stabilità. Metodi di Liapunov per lo studio della stabilità di soluzioni stazionarie.
Modelli lineari: dall'oscillatore armonico ai problemi di risonanza.
Modelli non lineari in dinamica delle popolazioni: il modello Lotka-Volterra, i modelli preda-predatore, il modello
epidemiologico.
Oscillatori non lineari: l'equazione di Van der Pol, l'equazione di Duffing.
Introduzione alla teoria delle biforcazioni: biforcazioni stazionarie, cicli limite, biforcazioni di Hopf.
Il teorema di Poincarè-Bendixson per sistemi piani.
Sistemi caotici: il modello di Lorenz
Programma esteso
Sistemi dinamici: definizioni e proprietà elementari. Il concetto di
stabilità. Metodi di Liapunov per lo studio della stabilità di soluzioni
stazionarie.
Modelli lineari: dall'oscillatore armonico ai problemi di risonanza.
Modelli non lineari in dinamica delle popolazioni: il modello Lotka-
Volterra, i modelli preda-predatore, il modello epidemiologico.
Oscillatori non lineari: l'equazione di Van der Pol, l'equazione di Duffing.
Introduzione alla teoria delle biforcazioni: biforcazioni stazionarie, cicli limite, biforcazioni di Hopf.
Il teorema di Poincarè-Bendixson per sistemi piani.
Il caos deterministico: il sistema di Lorenz.
Sistemi dinamici discreti: mappa di Feigenbaum; biforcazioni di periodo doppio.
Bibliografia
G.L. CARAFFINI, M. IORI, G. SPIGA, Proprietà elementari dei sistemi dinamici, Appunti per il corso di Meccanica Razionale, UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PARMA, a.a 1998-99;
G. BORGIOLI, Modelli Matematici di evoluzione ed equazioni differenziali, Quaderni di Matematica per le Scienze Applicate/2, CELID, TORINO, 1996;
R. RIGANTI, Biforcazioni e Caos nei modelli matematici delle Scienze applicate, LEVROTTO & BELLA TORINO, 2000;
M.W HIRSCH, S. SMALE, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, ACADEMIC PRESS, NEW YORK, 1974;
J.D. MURRAY, Mathematical Biology, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1989;
J. GUCKENHEIMER, P. HOLMES, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vectors Fields, SPRINGER-VERLAG, NEW YORK, 1983;
M. SQUASSINA, S. ZUCCHER, Introduzione all'analisi qualitativa dei sistema dinamici discreti e continui, Springer Unitext 2016
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni
Modalità verifica apprendimento
Le conoscenze acquisite e la capacità di comprensione dei concetti trattati verranno verificati attraverso un esame orale e la valutazione di un elaborato autonomo presentato dallo studente, riguardante lo studio qualitativo di un semplice modello matematico con simulazioni in ambiente Matlab.
Il superamento dell’esame è subordinato alla verifica delle seguenti competenze: acquisizione di un linguaggio formalmente corretto, capacità di risolvere semplici esercizi, elaborazione di collegamenti tra le diverse parti del corso.
Altre informazioni
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