Obiettivi formativi
Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente apprenderà le nozioni e le tecniche di base della teoria delle rappresentazioni.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Lo studente saprà risolvere esercizi di base della teoria delle rappresentazioni di gruppi finiti e algebre
finito–dimensionali.
Prerequisiti
Algebra lineare.
Contenuti dell'insegnamento
Il corso è una introduzione alle nozioni di base della teoria delle rappresentazioni.
Nella prima parte del corso ci occuperemo delle nozioni di base e della discussione dei problemi
fondamentali della teoria. Nella seconda parte del corso, illustreremo in dettaglio la teoria delle rappresentazioni
legata ai gruppi finiti, in particolare gruppi simmetrici e teoria dei caratteri. Nella terza
parte del corso, ci occuperemo della teoria delle rappresentazioni di quiver e delle algebre finito–
dimensionali, utilizzando elementi di algebra omologica.
Programma esteso
Nozioni di linguaggio. Categorie e funtori.
Nozioni di base di teoria delle rappresentazioni. Algebre associative e rappresentazioni.
Nozioni di base di teoria delle algebre di Lie. Rappresentazioni di sl(2).
Rappresentazioni di algebre matriciali.
Rappresentazioni di gruppi finiti. Teorema di Mashke.
Rappresentazioni di quiver. Teorema di Gabriel.
Introduzione all’algebra omologica.
Rappresentazioni di algebre finito–dimensionali.
Bibliografia
[E] P. Etingof et al., Introduction to representation theory.
[FH] W. Fulton, J. Harris, Representation Theory. A first course.
Entrambi i testi sono disponibili liberamente online.
Metodi didattici
Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti del corso dal punto di vista formale, corredati
da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell’apprendimento prevede la consegna di esercizi settimanali, che concorreranno al 40%
del voto finale, e un colloquio orale, che concorrerà al 60% del voto finale.
La lezione del venerdì sarà dedicata alla discussione di esercizi. Ogni settimana verrà assegnato un
foglio di esercizi. Durante la lezione, gli studenti si divideranno in gruppi e discuteranno le soluzioni,
che verranno consegnate il venerdì della settimana successiva. Gli studenti sono incoraggiati a lavorare
collettivamente alle soluzioni. Tuttavia, ogni studente dovrà consegnarne una copia singola al
docente (preferibilmente per email in formato pdf). Gli esercizi concorreranno al 40% del voto finale (in sostituzione di un esame scritto).
Nel colloquio orale gli studenti dovranno dimostrare di possedere le conoscenze di base dell’algebra
e della teoria delle rappresentazioni, ed essere in grado di enunciare e dimostrare i risultati presentati
durante le lezioni, utilizzando un linguaggio appropriato ed un formalismo matematico corretto.
Altre informazioni
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