Obiettivi formativi
Ci si attende che alla fine del corso lo studente sia in grado di:
- conoscere strumenti utili per affrontare problemi di Fisica Matematica;
- saper esporre in modo chiaro, con un linguaggio corretto sia dal punto di vista matematico che fisico, gli argomenti del corso;
- saper risolvere diverse tipologie di equazioni alle derivate parziali che compaiono in problemi di interesse fisico-matematico, riconducendosi ai metodi visti nel corso per le equazioni classiche.
In modo più specifico, le competenze acquisite nel corso saranno le seguenti:
- Conoscenza e capacità di comprensione: gli studenti conosceranno in modo approfondito e sapranno utilizzare in autonomia strumenti matematici nell'ambito della Fisica Matematica; inoltre acquisiranno un livello di comprensione dei contenuti e delle teorie matematiche più recenti sugli argomenti del corso tali da metterli in grado di leggere e comprendere testi avanzati e articoli di ricerca, e di elaborare poi idee originali in contesti specifici di ricerca.
- Capacità di applicare conoscenze e comprensione: gli studenti saranno in grado di produrre dimostrazioni rigorose di risultati matematici anche
originali e di affrontare problemi nell'ambito delle equazioni della Fisica Matematica, formulando modelli nuovi e studiandone le proprietà mediante metodi analitici e numerici.
- Autonomia di giudizio: gli studenti dovranno costruire argomentazioni logiche anche in forme ampie e articolate, mostrandosi in grado di
riconoscere dimostrazioni corrette o invece fallaci.
- Abilità comunicative: gli studenti dovranno esporre oralmente in modo chiaro e matematicamente corretto gli argomenti del corso.
- Capacità di apprendimento: il corso aiuterà gli studenti a formare una mentalità flessibile che permetta loro inserirsi in ambienti di lavoro che
richiedono la capacità di affrontare problematiche sempre nuove, o di proseguire gli studi all'interno di un Master di secondo livello o di un Dottorato di Ricerca in Italia o all'estero.
Prerequisiti
Conoscenze dei contenuti dei corsi di matematica per la laurea triennale della classe L-35.
Contenuti dell'insegnamento
Il corso può pensarsi suddiviso in tre parti.
1) Funzioni complesse di una variabile complessa.
Trasformata di Fourier e trasformata di Laplace.
2) Funzione di Green e problemi di Sturm-Liouville per operatori differenziali lineari del II° ordine.
PDEs quasi-lineari del I° ordine.
3) Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine.
Equazioni fondamentali della fisica matematica: equazione di Laplace, equazione del calore, equazione delle onde.
Leggi di conservazione.
Programma esteso
Funzioni complesse di una variabile complessa: condizioni di Cauchy-Riemann, classificazione delle singolarità, calcolo dei residui, integrazione in campo complesso, serie di Laurent.
Trasformata di Fourier e trasformata di Laplace: definizioni e proprietà, trasformate delle funzioni fondamentali, trasformata della delta di Dirac, antitrasformate.
Funzione di Green e problemi di Sturm-Liouville per operatori differenziali lineari del II° ordine.
PDEs quasi-lineari del I° ordine.
Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine, lineari, in due variabili indipendenti; problema di Cauchy.
Equazioni fondamentali della fisica matematica: equazione di Laplace, equazione del calore, equazione delle onde (derivazione fisica, proprietà matematiche, metodi di risoluzione).
Leggi di conservazione.
Bibliografia
F. Gazzola, F. Tomarelli, M. Zanotti, Analisi complessa - Trasformate - Equazioni Differenziali, Esculapio, Milano.
S. Salsa, Equazioni a derivate parziali, Springer, Milano.
G. Spiga, Problemi matematici della Fisica e dell'Ingegneria, Pitagora, Bologna.
A. N. Tichonov, A. A. Samarskij, Equazioni della fisica matematica, MIR, Mosca.
Metodi didattici
Durante le lezioni frontali verranno proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi e applicazioni.
Si auspica che la situazione sanitaria permetta di poter tenere il corso anche in presenza.
In ogni caso, i video delle lezioni e i files pdf delle slides prodotte durante le lezioni saranno caricati sulla piattaforma Elly in modo che siano fruibili anche a distanza.
Modalità verifica apprendimento
L'esame consiste in un colloquio orale, in cui si valuta il livello di conoscenza e comprensione acquisito dallo studente, e la capacità di esporre gli argomenti in modo matematicamente corretto.
Di norma l'esame orale consiste in tre domande, una su ciascuna delle parti del corso descritte nella sezione "Contenuti".
Altre informazioni
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