Obiettivi formativi
[knowledge and understanding]
Conoscere, comprendere e saper comunicare tutti gli argomenti essenziali riportati nella sezione "Programma esteso" (tranne le dimostrazioni di quelli segnati con (**) e (***), ma vedi "Modalità di verifica dell'apprendimento"), che costituiscono una solida base teorica dei processi stocastici.
[applying knowledge and understanding]
Essere in grado di risolvere in autonomia esercizi e problemi basati sugli argomenti del corso, in particolare tutti gli "homework" assegnati durante le lezioni.
[making judgements]
Essere in grado di determinare quando un processo è ben definito e quando gode di una o più delle proprietà introdotte nell'insegnamento (ad esempio essere adattato, essere una semimartingala, essere M2-loc, ecc).
[learning skills]
Essere in grado di leggere e comprendere un testo scientifico che presupponga una conoscenza dei processi stocastici a tempi continui, dell'integrazione stocastica e delle equazioni differenziali stocastiche in dimensione 1.
Prerequisiti
Spazi misurabili e di probabilità, lemmi di Borel-Cantelli, variabili aleatorie, speranza matematica, convergenze di variabili aleatorie, spazi L^p
Contenuti dell'insegnamento
Nella prima parte del corso si introduce il concetto di processo stocastico a tempi continui, discutendo sulle varie problematiche che ne derivano e sviluppando gli strumenti necessari allo studio di tali oggetti. In particolare viene costruito il moto browniano.
La seconda parte è dedicata alla costruzione dell'integrale stocastico e allo studio delle sue proprietà, tramite il concetto di martingala.
Nella terza parte viene data una introduzione alle equazioni differenziali stocastiche.
Programma esteso
I seguenti argomenti rispecchiano quanto svolto negli anni precedenti. Il docente si riserva di adattare leggermente il programma alle diverse esigenze didattiche dell'anno in corso. Il programma aggiornato sarà disponibile alla fine delle lezioni.
1. Il processo di Bernoulli
2. Passeggiate aleatorie
3. Catene di Markov
4. Processo di Poisson
5. Moto Browniano
6. Un processo è misurabile rispetto alla σ-algebra prodotto sse sono misurabili le sue componenti (*)
7. Le leggi finito-dimensionali fissano la legge globale (*)
8. Processo a tempi numerabili: modificazione => indistinguibile
9. Processo a traiettorie continue: modificazione => indistinguibile (*)
10. BM è un processo Gaussiano centrato con c(s,t)=min(s,t) (*)
11. Un processo Gaussiano centrato con c(s,t)=min(s,t) => 1) 2) 3) del BM (*)
12. Ipotesi thm di estensione => leggi finito-dimensionali compatibili (**)
13. Thm di estensione di Kolmogorov (**)
14. Thm di regolarità di Kolmogorov (***)
15. Esistenza del BM (*)
16. Proprietà di invarianza del BM (**)
17. Variazione totale di una funzione, funzioni BV, integrali
18. Variazione quadratica di un processo stocastico
19. Variazione quadratica del BM (*)
20. Converegenza q.c. delle approssimanti alla variazione quadratica in caso di partizioni crescenti (**)
21. Traiettorie BM sono non BV e non Hoelderiane per alfa>1/2 (*)
22. Filtrazioni, filtrazioni naturali, filtrazioni continue a destra, processi adattati, processi progressivi
23. BM è sempre BM rispetto alla propria filtrazione naturale (*)
24. Progressivo => adattato
25. Adattato + traiettorie continue a dx o sx => progressivo (**)
26. Processi M², processi S², integrale stocastico I per processi S²
27. I è lineare ed è un'isometria su S² (*)
28. I si estende in modo univoco a M² (*)
29. S² è denso in M² (***)
30. Media e varianza di I(X) (*)
31. Speranza condizionale e momento secondo condizionale di I(X) (compresi i due lemmi) (**)
32. I(X) è mg L², sua variazione quadratica
33. Martingale a tempi continui (super e sub), tempi d'arresto (t.d.a.)
34. Due casi in cui lo hitting time è un t.d.a. (**)
35. σ-algebra di un t.d.a. e misurabilità di X progressivo calcolato in t un t.d.a. (*)
36. Downcrossing lemma (*)
37. Thm di convergenza backward di Doob (**)
38. Submg a tempi numerabili: 1) se estremi T inclusi, norma L¹ limitata (*)
39. Submg a tempi numerabili: 2) se estremo dx incluso e norma L¹ limitata, UI (**)
40. Una mg ammette una modificazione con traiettorie cadlag (*)
41. Optional sampling thm (continuo) (**)
42. Una submg arrestata è una submg (*)
43. Disuguaglianza massimale (*)
44. I(X) ha una modificazione continua limite qc-uniforme di approssimanti continue (*)
45. Thm di localizzazione per I su M² (*)
46. Integrale stocastico per processi M²loc (**)
47. I su M²loc è mg locale
48. Continuità di I su M²loc (topologie specifiche) (**)
49. mg continua BV è costante (**)
50. Disuguaglianza Lp di Doob
51. Thm di esistenza e caratterizzazione della variazione quadratica per mg continue limitate (***)
52. Arrestare ad un t.d.a. commuta con la variazione quadratica
53. Thm sulla variazione quadratica per mg locali (**)
54. Variazione quadratica dell'integrale stocastico di processi M²loc (*)
55. Variazione quadratica di una semimartingala
56. Integrale stocastico con integratore un processo di Ito
57. Formule di Ito in dimensione 1 e maggiore; BM multidimensionale
58. Dimostrazione della formula di Ito nel caso base (***)
59. Geometric BM
60. Processo di Ornstein-Uhlenbeck
61. Equazioni differenziali stocastiche (SDE), soluzioni forti e deboli, unicità pathwise e in legge
62. Thm di buona posizione SDE nel caso Lipshitziano (***)
63. Processo di Poisson, costruzione elementare e legge marginale
64. Processo di Poisson, come limite di processi di Bernoulli (**)
65. Definizione implicita di processo di Poisson e di Processo di Lévy
66. Thm di rinnovo per processi di Lévy (**)
67. Processo di Poisson ha momenti finiti e intertempi indipendenti (*)
68. Thm di caratterizzazione del processo di Poisson (***)
Note: Le dimostrazioni presentate durante le lezioni del corso vanno
studiate a diversi livelli:
- quelle più semplici e dirette, che possono essere pensate come
semplici verifiche, vanno sapute in ogni caso
- le altre sono segnate con (*), (**) o (***) a seconda della
complessità: le (*) vanno sapute in ogni caso; le (**) e (***)
possono essere chieste all'esame se dichiarato dal docente quando
vengono fissati gli argomenti dell'esame [al massimo 3 di cui una
(***)]
- le definizioni e gli enunciati vanno saputi tutti; se una
dimostrazione non è segnata con (*), (**) o (***), va saputa
- gli homework contano come (**)
Bibliografia
Francesco Morandin - Note dell'insegnamento 2016, 2018 e 2020
Francesco Morandin - Note dell'insegnamento 2021 (redatte man mano e disponibili online dopo ogni lezione)
Francesco Caravenna - Moto browniano e analisi stocastica
Daniel Revuz, Marc Yor - Continuous Martingales and Brownian Motion
Ioannis Karatzas, Steven E. Shreve - Brownian Motion and Stochastic Calculus
David Williams - Probability with Martingales
Paolo Baldi - Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni
Bernt Øksendal - Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications
Metodi didattici
48 ore di lezioni frontali. Durante le lezioni vengono affrontati tutti gli argomenti in modo formale e dando dimostrazione di quasi tutti gli enunciati. Viene prestata grande attenzione alle motivazioni e vengono illustrati alcuni esempi di applicazioni. Non sono previste esercitazioni vere e proprie, ma vengono regolarmente assegnati degli homework che gli studenti sono invitati a svolgere in autonomia ed eventualmente chiedere a ricevimento.
Modalità verifica apprendimento
L'esame è svolto oralmente in una data concordata, su un testo base comunicato dal docente almeno 3 giorni in anticipo. Il testo è costituito da:
A) un esercizio/problema
B) due argomenti teorici (**) o (***) dal "programma esteso" aggiornato
C) un homework
Gli argomenti del "programma esteso" aggiornato che non siano né (**) né (***) possono essere chiesti senza preavviso, come tutte le definizioni e gli enunciati.
Le parti B) e C) possono essere sostituite interamente scegliendo uno degli approfondimenti resi disponibili dal docente.
Per superare l'esame lo studente deve mostrare correttezza del linguaggio e del formalismo matematico. Deve conoscere bene gli oggetti matematici e i risultati del corso e saperli usare con naturalezza. Deve avere la capacità di condurre dimostrazioni in autonomia.
Altre informazioni
Il materiale didattico disponibile sul sito di e-learning dell'insegnamento comprende i video e le lavagnate delle lezioni, che sono svolte tramite tablet computer
