Obiettivi formativi
Al termine dell'attività formativa lo studente dovrà aver acquisito una sufficiente comprensione e conoscenza delle nozioni elementari del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali e della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Il corso si concentra sugli aspetti di calcolo piuttosto che sugli aspetti più teorici della disciplina.
In particolare, nell'ambito degli argomenti trattati nel programma, lo studente dovrà aver acquisito:
1. una sufficiente conoscenza dei contenuti del corso;
2. la capacità di utilizzare gli strumenti del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali e la teoria delle equazioni differenziali ordinarie per la risoluzione di problemi di semplice o media difficoltà;
3. la capacità di analizzare e valutare la coerenza e la correttezza di argomentazioni e risultati ottenuti da lui o da altri;
4. la capacità di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici utilizzando correttamente il lessico scientifico specifico della disciplina;
5. la capacità di comprendere testi scientifici e tecnici che utilizzano strumenti di calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali e equazioni differenziali ordinarie.
Prerequisiti
Solida conoscenza di Analisi Matematica 1 e Geometria.
Contenuti dell'insegnamento
Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali ed equazioni differenziali ordinarie.
Programma esteso
1) Preliminari di algebra lineare e topologia.
Algebra lineare e geometria: spazi vettoriali, norma e prodotto scalare e disuguaglianza
di Cauchy--Schwarz; applicazioni lineari e matrici, autovalori e diagonalizzazione delle
matrici simmetriche, forme quadratiche; elementi di geometria analitica nel piano e nello spazio.
Topologia: punti interni, di accumulazione e di frontiera; insiemi aperti ed insiemi chiusi;
insemi compatti ed insiemi connessi.
2) Calcolo differenziale.
Limiti e continuità: limiti per funzioni di più variabili reali; funzioni continue di più variabili reali; teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi.
Calcolo differenziale: derivate direzionali e parziali, funzioni differenziabili scalari e vettoriali, gradiente e suo significato; piano tangente, vettori tangenti e normali al grafico di una funzione; differenziabilità della funzione composta; funzioni con gradiente nullo; funzioni differenziabili di classe C1. Teorema di inversione locale. Diffeomorfismi e cambi di variabile.
Funzioni di classe C2: funzioni di classe C2, teorema di Schwarz e matrice Hessiana; formula di Taylor del secondo ordine.
Ottimizzazione di funzioni: massimi e minimi locali e globali, punti di sella; condizioni necessarie e/o sufficienti per l'ottimizzazione di funzioni.
Superfici regolari: teorema della funzione implicita, moltiplicatori di Lagrange.
3) Curve e campi vettoriali.
Curve orientate: semplici, chiuse, lisce e regolari; lunghezza di una curva e rettificabilità delle curve lisce; curve equivalenti e ascissa curvilinea.
Campi vettoriali: integrale curvilineo di un campo vettoriale; campi conservativi e potenziali; campi irrotazionali.
4) Integrali multipli
Integrazione: insiemi misurabili e misura secondo Lebesgue; integrale e sue proprietà; funzioni integrabili; formule di riduzione e teorema di Fubini--Tonelli. Cambio di variabili negli integrali multipli: teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli; significato geometrico dello Jacobiano per le trasformazioni lineari; cambiamento di coordinate polari piane, sferiche e cilindriche.
5) Equazioni Differenziali Ordinarie
Equazioni differenziali ordinarie: definizioni ed esempi; teoremi di esistenza locale ed unicità; soluzioni massimali e soluzioni globali; risoluzione di alcuni tipi di equazioni scalari (lineari, a variabili separabili, di Bernoulli).
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: sistema fondamentale di soluzioni; formula di variazione delle costanti arbitrarie di Lagrange.
Bibliografia
P. CELADA "Lezioni di analisi matematica 2", Uninova Parma 2022
Metodi didattici
Lezioni frontali in presenza (4 ore settimanali) ed esercitazioni in presenza (2 ore settimanali). Gli studenti sono tenuti a seguire il protocollo di sicurezza
elaborato dall'ateneo per contenere la diffusione del virus covid-19.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene in forma tradizionale attraverso un esame finale costituito da una prova scritta e da un colloquio orale. Non sono previste prove intermedie.
La prova scritta consiste di esercizi a risposta multipla e a risposta aperta relativi al programma svolto. Il colloquio orale e' subordinato al superamento della prova scritta (votazione non inferiore a 16/30) e verte sulla discussione della prova scritta e su tutto il programma svolto a lezione. Una prova scritta superata resta valida per tutta la sessione d’esame in cui si è svolta (Gennaio-Febbraio oppure Giugno-Settembre). Il voto finale tiene
conto del risultato della prova scritta e del colloquio orale.
Gli esami si svolgeranno in presenza o a distanza in dipendenza dalla situazione sanitaria.
Altre informazioni
Il corso si svolge a ritmo sostenuto ed è essenziale lavorare costantemente durante il semestre. La frequenza è fortemente consigliata.
