Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere.
Al termine dell’attività formativa lo studente dovrebbe aver acquisito conoscenze e competenze, utili in ambito chimico, relative agli elementi di base della teoria delle successione e serie numeriche e del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile reale
Capacità di applicare conoscenza e comprensione.
Attraverso gli esercizi svolti in aula e online lo studente apprende come applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi concreti, quali problemi di ottimizzazione per funzioni di una sola variabile, e al calcolo di particolari integrali per funzioni di una variabile.
Autonomia di giudizio.
Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o da altri.
Capacità comunicative.
Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici relativi al programma svolto, anche al di fuori di un contesto esclusivamente applicativo. Le lezioni frontali e il confronto diretto con il docente favoriranno l'acquisizione da parte dello studente di un lessico scientifico specifico e appropriato.
Capacità di apprendimento.
Lo studente dopo aver seguito il corso sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze nell'ambito del calcolo differenziale e dell'integrazione per funzioni di una variabile e nell'ambito delle successioni e serie numeriche. Sarà in grado di consultare in modo autonomo testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni.
Prerequisiti
Equazioni e disequazioni irrazionali, trigonometriche, logaritmiche, esponenziali, col modulo, e grafici di funzioni elementari.
Contenuti dell'insegnamento
Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile reale, successioni e serie numeriche, serie di potenze.
Programma esteso
1. I numeri reali.
Massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore; parte intera e modulo dei numeri reali; potenze, radici, radici n-esime dei numeri non negativi; numeri razionali e irrazionali; intervalli, distanza. Numeri complessi. Principio di induzione.
2. Funzioni.
Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche, funzione inversa; grafici; funzioni reali di variabile reale, funzioni monotone, funzioni esponenziali e logaritmiche; funzioni trigonometriche.
3. Successioni e serie.
Successioni e loro limiti; serie a termini positivi e criteri per la loro convergenza.
4. Limiti.
Limiti di funzioni con valori reali, unicità del limite, limiti delle restrizioni; limite della somma, del prodotto, del quoziente di due funzioni; teorema di permanenza del segno, teoremi di confronto; limite destro e sinistro; limiti delle funzioni monotone.
5. Funzioni continue.
Continuità di funzioni reali di variabile reale, restrizioni di funzioni continue, composizione di funzioni continue; somma, prodotto, quoziente di funzioni continue; discontinuità, esempi di funzioni discontinue; teorema degli zeri; continuità e intervalli; continuità e monotonia; continuità delle funzioni inverse; teorema di Weierstrass.
6. Calcolo differenziale.
Rapporti incrementali, derivate, derivate destre e sinistre; significato geometrico delle derivata; regole di derivazione: derivate della somma, prodotto, quoziente di due funzioni; derivate di funzioni composte e di funzioni inverse; derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi; punti stazionari; relazione tra monotonia e segno della derivate; teoremi di Rolle, Lagrange e loro interpretazione geometrica, teorema di Cauchy e di De l'Hopital; funzioni convesse, derivate delle funzioni convesse, relazione tra convessità e segno della derivata seconda; studio di massimi e minimi locali col calcolo delle derivate.
7. Integrali.
Partizioni di un intervallo; integrale superiore ed inferiore, Integrabilità delle funzioni continue; interpretazione geometrica dell'integrale; proprietà degli integrali; media di una funzione integrabile; integrali su intervalli orientati; teorema fondamentale del calcolo integrale; primitive, integrali indefiniti; integrazione per parti e per sostituzione; integrali di funzioni razionali
8. Serie di potenze. Definizione di serie di Taylor di una funzione, raggio di convergenza e intervallo di convergenza di una serie di potenze.
Bibliografia
"Analisi Matematica 1 con Elementi di Algebra Lineare", Addona, Garibaldi, Lorenzi.
"Matematica: calcolo infinitesimale e algebra lineare", Bramanti, Pagani, Salsa.
"Analisi Matematica 1", Languasco.
"Analisi Matematica 1", Canuto, Tabacco.
Metodi didattici
Lezioni frontali con l’utilizzo di un tablet.
Modalità verifica apprendimento
La verifica di apprendimento verterà su una prova scritta ed una orale che verranno svolte in date differenti.
Altre informazioni
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