Obiettivi formativi
L'obiettivo principale del corso è di fornire agli studenti iscritti al primo anno dei Corsi di Laurea in Matematica e in Fisica una prima introduzione al ragionamento matematico e all'utilizzo corretto del linguaggio matematico. A questo scopo, la prima parte del corso è dedicata alla revisione
delle nozioni di base, con particolare attenzione alle funzioni tra insiemi e alle funzioni in una variabile reale. Questa prima fase permetterà agli studenti di rendersi conto delle proprie lacune e quindi di porvi rimedio, ricorrendo per esempio al servizio di tutoraggio offerto a questo scopo dal dipartimento.
Successivamente, il corso tratterà argomenti che risulteranno probabilmente nuovi alla gran parte degli studenti, ovvero rudimenti di aritmetica modulare, combinatoria e calcolo delle probabilità. La scelta di questi argomenti permetterà di impostare le lezioni in maniera particolarmente interattiva,
utilizzando la vasta gamma di esercizi collegati per allenare gli studenti a supportare le proprie intuizioni con delle dimostrazioni matematiche rigorose.
Prerequisiti
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Contenuti dell'insegnamento
Revisione delle nozioni della matematica di base, con particolare attenzione alle funzioni tra insiemi e alle funzioni in una variabile reale.
Cardinalità, ordinamenti e fondamenti. Rudimenti di aritmetica modulare, combinatoria e calcolo delle probabilità.
Programma esteso
Lezione 1 - 4h.
Logica delle proposizioni e teoria ingenua degli insiemi. Proposizioni, connettivi e tavole di verità. Proposizioni condizionali. Dimostrazioni. Quantificatori. Circuiti. Insiemi. Operazioni su insiemi. Diagrammi di Venn. Insiemi numerici. Relazioni su insiemi.
Lezioni 2, 3 e 4a - 13h.
Funzioni, equazioni, disequazioni. Definizioni di base e proprietà. Esempi. Funzioni in una variabile reale. Grafici di funzioni. Operazioni su funzioni e grafici. Equazioni e disequazioni. Funzioni implicite. Coniche.
Lezioni 4b e 5 - 7h. Solo per gli iscritti di Matematica. Approfondimenti.
Cardinalità. Ordinamenti. Relazioni di equivalenza e quozienti. Classi resto. Possibili argomenti supplementari: Lemma di Zorn e Assioma della scelta; breve discussione sugli assiomi di Zermelo-Frenkel.
Lezione 6 - 4h.
Combinatoria e dimostrazioni. Permutazioni, combinazioni e variazioni e loro identita`. Dimostrazioni per induzione. Manipolazioni di sommatorie.
Lezione 7 - 4h. Sessione di revisione.
Fine del corso per gli iscritti di Fisica
Lezioni 8, 9 e 10a - 10h.
Introduzione elementare alla probabilità. Concetti di base. Probabilità condizionate ed eventi indipendenti. Teorema di Bayes. Probabilità binomiale. Valore atteso.
Lezione 10b - 2h. Sessione di revisione.
Lezione 11 - 4h.
Prova breve di simulazione, correzione in classe e revisione.
Bibliografia
Le note ufficiali del corso saranno a disposizione degli studenti sulla piattaforma Elly corredate da esercizi con soluzioni.
Materiale didattico supplementare (lista preliminare):
• S. Lang, Basic Mathematics, 1970.
• G. Prodi, Analisi Matematica (Cap. 0), 1972.
• E. Acerbi, G. Buttazzo, Matematica Preuniversitaria di Base, 2003.
• S. Ross, Probabilit`a e statistica per l’ingegneria e le scienze, 2013.
• F.G. Alessio, C. de Fabritiis, C. Marcelli, P. Montecchiari, Matematica zero, 2016.
Metodi didattici
Il programma del corso sarà suddiviso in giornate tematiche, durante le quali un dato argomento viene trattato in maniera teorica ed assimilato tramite applicazioni, esercizi e discussioni in classe.
Modalità verifica apprendimento
L’esame consiste in una prova scritta della durata di 3 ore, costituita da domande aperte e domande a risposta multipla.
Altre informazioni
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