Obiettivi formativi
Il corso ha l'obiettivo di consentire allo studente di conoscere e di comprendere elementi essenziali della Geometria e dell'Algebra Lineare; il corso ha anche lo scopo di consentire allo studente di utilizzare la conoscenza e la comprensione acquisite per la risoluzione di problemi concreti.
Competenze:
a) risolvere sistemi di equazioni lineari;
b) operazioni su vettori e matrici;
c) diagonalizzare matrici.
Autonomia di giudizio:
valutare la correttezza di una semplice dimostrazione.
Capacità comunicative e di apprendimento:
esprimersi correttamente con linguaggio matematico.
Prerequisiti
Trigonometria, risoluzione di equazioni di primo e secondo grado e di semplici sistemi di equazioni lineari. Definizione di funzione, iniettivita', suriettivita'
Contenuti dell'insegnamento
Il corso rappresenta una introduzione a diversi aspetti dell’Algebra Lineare e della
Geometria.
Si inizierà con una parte riguardante vettori, matrici e sistemi lineari. Successivamente nel corso si studieranno le applicazioni lineari e il problema della diagonalizzazione degli operatori.
Programma esteso
0. Preliminari: Numeri reali e complessi
1. Vettori in R^n, C^n. Operazioni su vettori e loro proprietà (Prodotti scalari e Hermitiani, distanze, angoli, prodotto vettoriale.)
2. Matrici e operazioni su matrici. Determinante: definizione tramite le formule di Laplace e proprieta' fondamentali. Teorema di Binet.
Operazioni elementari di riga e colonna su matrici. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice. Matrici simmetriche ed Hermitiane.
3. Sistemi lineari. Metodo di Gauss e teorema di Rouche'-Capelli.
4. Spazi vettoriali reali e complessi. Combinazione lineare di vettori: dipendenza/indipendenza lineare.
Generatori, basi e dimensione di uno spazio vettoriale.
5. Applicazioni lineari. Definizione di nucleo e di immagine; teorema fondamentale sulle applicazioni lineari (o della dimensione, o nullita' piu' rango).
Matrice associata ad una applicazione lineare e regola di cambiamento di base. Isomorfismi e applicazioni inverse.
5. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico.
Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili.
6. Complementi di algebra e/o geometria.
Bibliografia
Alessandrini, L., Nicolodi, L., Geometria e algebra lineare, con esercizi svolti, Ed. Uninova(PR) 2012.
Silva A., Algebra Lineare, Edizioni Nuova Cultura, 1994
Abate, M., Geometria. McGraw-Hill.
Note a cura della docente.
Metodi didattici
La modalità didattica privilegiata è la lezione frontale in cui vengono proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi, da applicazioni e numerosi esercizi. Gli esercizi sono uno strumento essenziale in Algebra Lineare; in aggiunta alle lezioni, saranno proposti esercizi da svolgere in modo guidato.
I materiali didattici utilizzati durante le lezioni saranno eventualmente resi disponibili su Elly.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento prevede un esame finale comprendente una prova scritta e un colloquio orale. Potrebbero essere previste prove intermedie durante il corso, che valgono ai fini del superamento della prova scritta. Nella prova scritta, attraverso i test e gli esercizi proposti, lo studente dovra' dimostrare di possedere le conoscenze di base dell'algebra lineare e della geometria. Nel colloquio orale lo studente dovrà essere in grado di enunciare e dimostrare i risultati presentati durante le lezioni, utilizzando un linguaggio appropriato ed un formalismo matematico corretto.
Altre informazioni
E’ vivamente consigliata la frequenza del corso.
