Obiettivi formativi
Lo studente apprenderà le nozioni e le tecniche di base della teoria dei gruppi di Lie e delle algebre di Lie.
Prerequisiti
Per seguire produttivamente il corso, lo studente deve possedere una buona conoscenza delle nozioni e dei metodi di Algebra, Algebra Lineare (corsi Geometria 1A e 1B) e Geometria Differenziale (corsi Geometria 2A e 2B).
Contenuti dell'insegnamento
I gruppi di Lie sono degli oggetti fondamentali della Matematica e della Fisica. Il corso è una introduzione alla teoria dei gruppi di Lie matriciali e delle rispettive algebre di Lie. Nella prima parte del corso ci occuperemo delle nozioni di base e della discussione dei problemi fondamentali della teoria. Nella seconda parte del corso, illustreremo in dettaglio la struttura dei gruppi di Lie e le loro proprietà. Nella terza parte del corso, ci occuperemo della teoria delle algebre di Lie e delle loro rappresentazioni. I tre maggiori obiettivi del corso sono il teorema di Peter-Weyl, la formula dei caratteri di Weyl e il teorema di classificazione delle algebre di Lie semplici complesse.
Programma esteso
Bibliografia
Il riferimento principale è il libro di Brian Hall "Lie groups, Lie algebras, and Representations". Inoltre, un numero elevato di note sui gruppi di Lie e le algebre di Lie è disponibile gratuitamente online. In particolare, si segnalano le Lecture Notes di P. Etingof e di A. Kirillov, Jr:
[E] P. Etingof, Lie groups and Lie algebras
https://arxiv.org/abs/2201.09397
[K] A. Kirillov Jr., An Introduction to Lie groups and Lie algebras, Cambridge University Press.
Metodi didattici
Durante le lezioni, gli argomenti del corso verranno discussi in maniera formale, corredati da esempi significativi e applicazioni, e numerosi esercizi. La frequenza delle lezioni è fortemente consigliata.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell’apprendimento prevede una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta consisterà nello svolgimento di alcuni esercizi sia computazionali che teorici. La preparazione per lo svolgimento degli esercizi sarà agevolata tramite l'assegnazione regolare di esercizi. Ogni due settimane una lezione sarà dedicata alla discussione di esercizi. La prova orale consisterà in un breve seminario di approfondimento su un argomento concordato con il docente. La lista degli argomenti prevederà tre categorie: risultati avanzati della teoria di Lie; interazioni tra teoria di Lie e fisica delle particelle; storia della teoria di Lie.
Altre informazioni
I programmi dei corsi di Algebra Superiore 1 ed Algebra Superiore 2, per quanto indipendenti uno dall’altro, sono complementari e si integrano a vicenda. La frequenza di entrambi i corsi può quindi rivelarsi utile per un apprendimento ottimale ed è fortemente consigliata.
