Obiettivi formativi
Il corso fornisce la conoscenza di alcuni elementi di base della teoria classica delle equazioni ellittiche lineari del secondo ordine e della teoria del potenziale.
Prerequisiti
Precedenti corsi obbligatori di Analisi Matematica e Geometria Differenziale.
Contenuti dell'insegnamento
1) Preliminari. Integrazione su varieta'. Teorema della divergenze e formule di Green. Formula di coarea. 2) Funzioni armoniche. Definizioni ed esempi. Proprieta' della media. Principi del massimo debole e forte. Regolarita' e stime locali sulle derivate. Disuguaglianza di Harnack. Convergenza e compattezza. 3) Equazione di Laplace. Il problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace. Formula di rappresentazione di Green. Funzione di Green e sue proprieta'. Nucleo di Poisson per la palla e per il semispazio. Funzioni subarmoniche e superarmoniche e loro proprieta'. Principio del massimo e del minimo. Soluzioni secondo Perron-Wiener-Brelot. Barriere. 4) Principio del massimo. Principio del massimo di Hopf ed applicazioni. 5) Equazione di Poisson. Il problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson. Potenziale Newtoniano. Regolarita' Holderiana delle soluzioni. 6) Teoria di Schauder. Stime di Schauder. Esistenza di soluzioni $C^{2,alpha}$ con il metodo di continuita'.
Bibliografia
Appunti delle lezioni e materiale tratto dai seguenti testi: 1) G. Dal Maso, Equazioni ellittiche e teoria del potenziale, Appunti del corso SISSA a cura di A. Defranceschi; 2) D. Gilbarg - N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, Berlin 1998; 3) J. Jost, Partial differential equations, Springer-Verlag, New York 2002; 4) Ya-Zhe Chen - Lan-Cheng Wu, Second order elliptic equations and elliptic systems, Translations of Mathematical Monographs vol. 174, American Mathematical Society, Providence RI 1998; 5) Qing Han - Fanghua Lin, Elliptic partial differential equations, Courant Lecture Notes no.1, American Mathematical Society, Providence RI 1997.
