Obiettivi formativi
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Il corso si propone di presentare alcune nozioni fondamentali di Analisi Matematica per funzioni di una variabile reale e fornisce gli strumenti matematici di base necessari nelle discipline tecnico-matematiche dell'Architettura.<br />
Il corso si propone anche di sviluppare l'attenzione, la precisione, l'abitudine allo studio continuativo e al ragionamento logico, e la capacità di verificare l'attendibilità dei risultati utili nello studio e nel lavoro.
Prerequisiti
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Non ci sono veri prerequisiti: il primo quarto del corso è dedicato al recupero delle eventuali lacune sul programma delle scuole primarie e secondarie, per porre tutti gli studenti in grado di seguire la parte principale del corso.
Contenuti dell'insegnamento
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PRIMA PARTE (Precorso)<br />
Numeri naturali e interi: ordinamento, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione con quoziente e resto, divisori. Scomposizione in fattori primi, massimo comun divisore e minimo comune multiplo, potenze.<br />
Numeri razionali e reali: ordinamento, addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, frazioni equivalenti, numeri decimali e frazioni, radice quadrata di un numero naturale, espressioni con frazioni e potenze, retta reale, semplici problemi.<br />
Misure: di lunghezza, superficie (anche agrarie), volume, peso e capacità, equivalenze.<br />
Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, sistemi di equazioni lineari in due o tre variabili, sistemi di disequazioni in una variabile.<br />
Equazioni e disequazioni razionali fratte e di terzo ordine.<br />
Polinomi: radici di un polinomio, decomposizione in fattori, divisione tra polinomi.<br />
Logica delle proposizioni: connettivi logici, proposizioni vere o false, negazione di una proposizione.<br />
Teoria degli insiemi: appartenenza, insieme vuoto, unione, intersezione, differenza, insieme complementare, maggioranti e minoranti di un insieme, estremo inferiore e superiore di un insieme, massimo e minimo di un insieme.<br />
Funzioni: dominio, grafico, immagine, estremo superiore e inferiore di una funzione, punti di massimo e di minimo con i relativi valori, funzioni iniettive, suriettive e biunivoche, immagini e controimmagini, funzione radice quadrata, operazioni sulle funzioni (addizione, sottrazione, moltiplicazione, rapporto, composizione).<br />
Semplici equazioni e disequazioni irrazionali. Potenze a esponente razionale.<br />
Geometria Analitica: rette, circonferenze, parabole, ellissi, iperboli.<br />
Trigonometria: angolo, misura di un angolo, cerchio trigonometrico, seno, coseno e tangente, risoluzione grafica di equazioni e disequazioni trigonometriche molto semplici, formule di addizione, sottrazione e duplicazione, dominio, grafico e immagine delle funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente, risoluzione di triangoli.<br />
Funzioni esponenziali: andamento e grafico, risoluzione grafica di semplici equazioni e disequazioni.<br />
Logarimti: definizione, semplici operazioni con i logaritmi, cambiamento di base, grafico del logaritmo con base naturale, risoluzione grafica di semplici equazioni e disequazioni.<br />
Grafici da altri grafici: traslazioni e simmetrie.<br />
Valore assoluto: valore assoluto di un numero, funzione valore assoluto, distanza nei numeri reali.<br />
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SECONDA PARTE (Corso di Analisi Matematica)<br />
Continuità: definizione di funzione continua in un punto e su un insieme, applicazioni (errore e precisione), interpretazione grafica, studio della continuità di una funzione dal grafico e dall'espressione che la definisce. Crescenza e decrescenza di una funzione.<br />
Teoremi sulle funzioni continue: Permanenza del segno, Esistenza degli zeri, Valori intermedi, Weierstrass. Controesempi e applicazioni.<br />
Limiti: punto di accumulazione, definizione di limite finito e infinito avvicinandosi a un punto, limiti destro e sinistro, limiti all'infinito, limiti dal grafico, relazione tra limite e continuità, limiti di polinomi e di funzioni razionali fratte, limiti delle funzioni elementari, forme indeterminate, limiti notevoli sulle funzioni seno, coseno, esponenziale, logaritmo.<br />
Infinitesimi: ordine di infinitesimo e di infinito, parte principale, infinitesimo di ordine superiore, sviluppo delle funzioni elementari in serie di Taylor, approssimazione di una funzione tramite il suo polinomio di Taylor.<br />
Derivata: rapporto incrementale e derivata, retta tangente e velocità, calcolo di derivate, derivata e derivabilità dal grafico e dall'espressione della funzione, derivata seconda e derivate successive. <br />
Studio di una funzione: intervalli su cui la funzione è crescente, punti di massimo o minimo locale e/o assoluto, concavità del grafico, punti di flesso, asintoti.<br />
Teoremi di Rolle e di Lagrange e loro conseguenze.<br />
Curvatura del grafico di una funzione.<br />
Integrale: primitive di una funzione, integrale indefinito, metodi di integrazione (elementari, per parti, per sostituzione).<br />
Il problema dell'area e l'integrale definito, la media integrale, il teorema fondamentale del calcolo integrale.<br />
Calcolo di integrali definiti, cambiamento di variabile, aree di insiemi nel piano, volume di insiemi nello spazio.<br />
Equazioni differenziali ordinarie: risoluzione di equazioni differenziali omogenee lineari a coefficienti costanti di primo e secondo ordine. <br />
Bibliografia
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Acerbi E., Buttazzo G.: MATEMATICA preuniversitaria di base, ed. Pitagora<br />
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Acerbi E., Buttazzo G.: ANALISI MATEMATICA ABC, 1. funzioni di una variabile, ed. Pitagora<br />
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Mucci D.: Analisi Matematica, ESERCIZI, 1. funzioni di una variabile, ed. Pitagora<br />
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Sono anche disponibili appunti e esercizi della Prof. A. Coscia e i<br />
compiti dell'anno accademico 06-07 e 07-08 con soluzione.
Metodi didattici
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Durante il primo semestre il corso si svolge in due ore settimanali di lezione alle quali si aggiungono due ore di esercitazioni complementari obbligatorie per gli studenti con debito in matematica nel test di ammissione.<br />
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Durante il secondo semestre il corso si svolge in sei ore settimanali di lezione alle quali si aggiungono due ore di esercitazioni complementari obbligatorie per gli studenti con debito in matematica nel test di ammissione.<br />
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Il corso è a FREQUENZA OBBLIGATORIA (70 % delle ore di lezione e 70% delle ore di esercitazione).<br />
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Nel primo semestre sono previste una prova di valutazione iniziale sulle conoscenze di base, alcune verifiche in classe e un esame finale in gennaio-febbraio.<br />
Gli studenti con troppe lacune nelle conoscenze di base dovranno<br />
continuare a lavorare per colmarle e solo successivamente continuare nel programma.<br />
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Nel secondo semestre sono previsti 3 compitini (prove in itinere).<br />
Si accede alle verifiche previste nel secondo semestre solo con il raggiungimento della votazione minima di 18/30 sul programma del primo semestre.<br />
Sono inoltre richiesti lo svolgimento a casa e la consegna di schede di esercizi che saranno disponibili su internet nel materiale didattico del corso.<br />
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Non è possibile sostenere gli esami senza aver consegnato il materiale richiesto e senza che sia risultato corretto.<br />
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L'esame (per coloro che non utilizzano le prove intermedie) consiste in due prove scritte: la prima sul programma del primo semestre, superata la quale si accede alla seconda sul programma del secondo semestre. Le prove scritte contengono sia teoria sia esercizi.
