ANALISI MATEMATICA AB
cod. 13100

Anno accademico 2007/08
1° anno di corso - Primo semestre
Docente
Settore scientifico disciplinare
Analisi matematica (MAT/05)
Field
Matematica, informatica e statistica
Tipologia attività formativa
Base
81 ore
di attività frontali
9 crediti
sede:
insegnamento
in - - -

Obiettivi formativi

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Prerequisiti

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Contenuti dell'insegnamento

I NUMERI REALI. DEFINIZIONE ASSIOMATICA E PRIME PROPRIETÀ DI R. LE OPERAZIONI DI SOMMA E PRODOTTO E LE PROPRIETÀ A DI CAMPO DI R. INVERTIBLITÀ IN R RISPETTO ALLA SOMMA E IN R-{0} RISPETTO AL PRODOTTO. RELAZIONE D`ORDINE IN R E OPERAZIONI IN R. DISEQUAZIONI. MINORANTI E MAGGIORANTI. MASSIMO E MINIMO DI UN INSIEME. ESTREMO SUPERIORE (SUP) ED ESTREMO INFERIORE (INF) DI UN INSIEME: LORO PROPRIETÀ E CARATTERIZZAZIONE. ASSIOMA DI DEDEKIND. COMPLETEZZA (ESISTENZA DI SUP E INF). IL VALORE ASSOLUTO E SUE PROPRIETÀ. PRIMA E SECONDA DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE. I NUMERI COMPLESSI INTRODUZIONE STORICA: NON RISOLUBILITÀ DELLE EQUAZIONI POLINOMIALI IN R E INTRODUZIONE DELL`UNITÀ IMMAGINARIA I. CENNI ALLA COSTRUZIONE ASTRATTA DI C A PARTIRE DAL PRODOTTO CARTESIANO DI R PER SE STESSO. FORMA ALGEBRICA DI UN NUMERO COMPLESSO E RELATIVE MANIPOLAZIONI. OPERAZIONI IN C, PROPRIETÀ DI CAMPO DI C, INVERTIBILITÀ.ASSENZA DI RELAZIONI D`ORDINE COMPATIBILI IN C. ENUNCIATO DEL TEOREMA FONDAMENTALE DELL`ALGEBRA. RAZIONALIZZAZIONE DI FRAZIONI. CONIUGATO DI UN NUMERO COMPLESSO. PROPRIETÀ DEI CONIUGATI. FORMULA DI INVERTIBILITÀ CON I CONIUGATI. IL PIANO DI GAUSS. FORMA TRIGONOMETRICA DI UN NUMERO COMPLESSO. MODULO E ARGOMENTO DI UN NUMERO COMPLESSO E LORO PROPRIETÀ. DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE IN C. PRODOTTO E POTENZA DI NUMERI COMPLESSI IN FORMA TRIGONOMETRICA. RADICI N-ESIME E TEOREMA SULLA RISOLUBILITÀ DELL`EQUAZIONE Z°N=W. EQUAZIONI DI SECONDO GRADO IN C. RADICI DELL`UNITÀ. CENNI ALLA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA. IL PRINCIPIO DI INDUZIONE TEOREMI E METATEOREMI. IL PRINCIO DI INDUZIONE: PRIMA E SECONDA FORMA. ESEMPI: SOMMA DEI PRIMI N INTERI, SOMMA DELLE PRIME N POTENZE INTERE DI UN NUMERO. FATTORIALI. CENNI ALLE TECNICHE DI PROGRAMMAZIONE RICORSIVA. IL SIMBOLO DI SOMMATORIA E SUE PROPRIETÀ. SUCCESSIONI. DEFINIZIONE RIGOROSA DI SUCCESSIONE ED ESEMPI VARI. AMPLIAMENTO DI R: L`INSIEME R-AMPLIATO. INTORNI IN R-AMPLIATO. DEFINIZIONE DI LIMITE DI UNA SUCCESSIONE. DEFINIZIONE “EPSILON-DELTA” E DEFINIZIONE UNIFICANTE USANDO LA NOZIONE DI INTORNO. SUCCESSIONI DIVERGENTI E VELOCITÀ DI CRESCITA. CALCOLO DEI LIMITI CON VERIFICA.TEOREMI DI CONFRONTO, TEOREMA DEI DUE CARABINIERI E LORO USO PER IL CALCOLO DEI LIMITI. SOMME, PRODOTTI E QUOZIENTI IN R-AMPLIATO. TEOREMI SU SOMME, PRODOTTI E QUOZIENTI DI LIMITI IN R-AMPLIATOE FORME INDETERMINATE. MASSIMO, MINIMO, ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE DI UNA SUCCESSIONE. SUCCESSIONI MONOTONE E LORO PROPRIETÀ. SUCCESSIONI MONOTONE E LIMITI: TEOREMA FONDAMENTALE. LA FUNZIONE ESPONENZIALE. IL NUMERO E. LA FUNZIONE ESPONENZIALE EXP(X) E SUE PROPRIETÀ: MONOTONIA, INVERTIBILITÀ E CONTINUITÀ. LA FUNZIONE LOGARITMO (NATURALE) LOG (X) E SUE PROPRIETÀ. ALTRE FUNZIONI ESPONENZIALI E LORO PROPRIETÀ . LOGARITMI CON BASI DIVERSE. GRAFICI DI FUNZIONI. ESPONENZIALI IN R-AMPLIATO. CALCOLO DEI LIMITI DI ESPONENZIALI IN R-AMPLIATO. TEOREMI NOTEVOLI. NUOVE FORME INDETERMINATE CON GLI ESPONENZIALI. PRIMI LIMITI NOTEVOLI. CONTINUITÀ. DEFINIZIONE DI CONTINUITÀ IN UN PUNTO E IN UN INSIEME. ESEMPI ELEMENTARI: IL VALORE ASSOLUTO, GLI ESPONENZIALI E LE POTENZE. CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI SOMMA, PRODOTTO E QUOZIENTE. CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI COMPOSTE.CONTINUITÀ DELL`INVERSA. DISUGUAGLIANZE TRIGONOMETRICHE E CONTINUITÀ DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE. NUOVILIMITI NOTEVOLI (TRIGONOMETRICI). LIMITI DI FUNZIONI. DEFINIZIONE DI PUNTO DI ACCUMULAZIONE (ANCHE CON GLI INTORNI) DI UN INSIEME E DI PUNTO ISOLATO. DEFINIZIONE DI LIMITE DI FUNZIONE IN R. DEFINIZIONE UNIFICANTE CON GLI INTORNI. TEOREMA PONTE. SOMME PRODOTTI E QUOZIENTI DI LIMITI DI FUNZIONI. FORME INDETERMINATE. CARATTERIZZAZIONE DELLA CONTINUITÀ CON I LIMITI DI FUNZIONE. LIMITI DESTRI E SINISTRI. RESTRIZIONI. ESTENSIONE PER CONTINUITÀ. FUNZIONI CONTINUE. FUNZIONI CONTINUE SU INTERVALLI. FUNZIONI MONOTONE E LORO PROPRIETÀ. FUNZIONI MONOTONE E LIMITI: TEOREMA FONDAMENTALE. RISOLUBILITÀ DELLE EQUAZIONI TRASCENDENTI E TEOREMA DEGLI ZERI. CENNI AI METODI NUMERICI ITERATIVI. TEOREMA

Programma esteso

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Bibliografia

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Metodi didattici

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Modalità verifica apprendimento

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Altre informazioni

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