ANALISI MATEMATICA 1
cod. 1001152

Anno accademico 2011/12
1° anno di corso - Primo semestre
Docente
Settore scientifico disciplinare
Analisi matematica (MAT/05)
Field
Matematica, informatica e statistica
Tipologia attività formativa
Base
96 ore
di attività frontali
12 crediti
sede:
insegnamento
in - - -

Obiettivi formativi

Conoscenze e capacita' di comprendere.
Lo studente dovra' conoscere gli elementi di base del calcolo differenziale ed integrale per funzione di una variabile reale.

Competenze.
Lo studente dovra' essere in grado di applicare le conoscenze acquisite alla risoluzione di problemi anche mediamente elaborati relativi al programma svolto e di comprendere l'uso di tali conoscenze nell'ambito dei corsi applicativi.

Autonomia di giudizio.
Lo studente dovra' essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o da altri.

Capacita' comunicative.
Lo studente dovra' essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici relativi al programma svolto, anche al di fuori di un contesto di solo calcolo.

Prerequisiti

Conoscenze matematiche di base della scuola media superiore: elementi di teoria degli insiemi, algebra elementare, proprieta' delle potenze, logaritmi e funzione esponenziale, trigonometria, equazioni e disequazioni, elementi di geometria analitica nel piano. Tutti questi argomenti sono ripresi nel precorso.

Contenuti dell'insegnamento

Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile reale.

Programma esteso

1) Insiemi numerici.
Numeri razionali e numeri reali. Assioma di completezza di Dedekind. Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore. Proprieta' archimedea. Densita' dei razionali.
Principio di induzione, disuguaglianza di Bernoulli, binomio di Newton.
Calcolo combionatorio: permutazioni, disposizioni e combinazioni semplici.
Numeri complessi: forma algebrica e forma trigonometrica, formula di De Moivre, radici. Il teorema fondamentale dell'algebra.

2) Successioni numeriche.
Limiti di successioni. Algebra dei limiti. Teoremi del confronto e della permanenza del segno. Successioni monotone. Numero di Nepero e altri limiti notevoli. Teorema di Bolzano-Weierstass. Successioni di Cauchy e completezza dei reali.
Serie convergenti, divergenti ed irregolari. Condizione necessaria per la convergenza. Serie a termini positivi: criteri del confronto, del rapporto e della radice. Serie a segni alterni: criterio di Leibnitz. Serie a termini di segno qualunque: convergenza e convergenza assoluta.
Successioni e serie a termini complessi.

3) Limiti e continuita' per funzioni di una variabile reale.
Limiti finiti ed infiniti, limiti all'infinito. Algebra dei limiti e teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Alcuni limiti notevoli.
Funzioni continue. Algebra delle funzioni continue. Il teorema della permanenza del segno. Continuita' della funzione inversa e della funzione composta. Continuita' delle funzioni elementari. Funzioni continue in un intervallo: il teorema dei valori intermedi e il teorema di Weierstrass. Uniforme continuita' e teorema di Heine-Borel.

4) Calcolo differenziale per funzioni di una variabile.
Definizione di derivata e suo significato geometrico. Regole di derivazioni e derivate delle funzioni elementari. I teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange e loro conseguenze. Derivate successive. Formula di Taylor con resto di Peano e Lagrange. Massimi e minimi relativi. Funzioni convesse. Calcolo di primitive: primitive di funzioni razionali e le regole di integrazione per parti e per sostituzione.

5) Calcolo integrale per funzioni di una variabile.
Definizione di integrale di Riemann e suo significato geometrico. Proprieta' dell'integrale definito. Integrabilita' delle funzioni continue. Teorema della media e teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali generalizzati. Relazione tra serie ed integrali generalizzati.

Bibliografia

E. GIUSTI "Analisi Matematica 1", II ed., Bollati Boringhieri, Torino 1988
D. MUCCI "Analisi Matematica esercizi vol.1", Pitagora, Bologna 2004

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni a gruppi.

Modalità verifica apprendimento

Prova scritta (in due parti) e colloquio orale.

Altre informazioni

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