Obiettivi formativi
La conoscenza dei metodi dell'Analisi Matematica n-dimensionale.
Prerequisiti
E’ obbligatorio aver superato l’esame di Analisi Matematica 1 e Geometria.
Contenuti dell'insegnamento
Nozioni elementari di topologia.
Calcolo differenziale n-dimensionale.
Calcolo integrale n-dimensionale.
Equazioni differenziali lineari di ordine n.
Programma esteso
1-Topologia euclidea sullo spazio n-dimensionale reale.
1.1 Prodotto scalare euclideo e sue proprietà.
1.2 Norma euclidea, sue proprietà e disuguaglianza di Schwarz.
1.3 Distanza euclidea, sue proprietà e sistema fondamentale di intorni di un punto.
1.4 Definizione di punto interno, di parte interna di un insieme, di insieme aperto e proprietà degli insiemi aperti.
1.5 Definizione di insieme chiuso e proprietà degli insiemi chiusi.
1.6 Definizione di punto di accumulazione, di punto isolato, di chiusura di un insieme, di punto di frontiera e di frontiera di un insieme.
2-Limite e continuità per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
2.1 Definizione di limite di una successione vettoriale, di limite di una funzione di variabile vettoriale a valori vettoriali, unicità del limite, e proprietà dei limiti.
2.2 Definizione di continuità per una funzione di variabile vettoriale a valori vettoriali e proprietà delle funzioni continue.
2.3 Insiemi compatti,loro caratterizzazione e teorema di Weierstrass.
3-Calcolo differenziale per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
3.1 Derivate parziali e derivate direzionali.
3.2 Differenziabilità per funzioni di variabile vettoriale a valori reali.
3.3 Teorema del differenziale totale.
3.4 Differenziabilità per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
3.5 Differenziabilità delle funzioni composte.
3.6 Derivate parziali di ordine superiore e teorema di Schwarz.
3.7 Formula di Taylor arrestata al secondo ordine.
3.8 Punti stazionari e condizione necessaria affinché un punto sia di minimo o massimo relativo interno.
3.9 La matrice Hessiana e condizione sufficiente affinché un punto sia di minimo (massimo) relativo interno.
3.10 Punti stazionari vincolati.
4-Integrale di Riemann per funzioni di variabile vettoriale.
4.1 Definizione di funzione integrabile secondo Riemann su un insieme limitato regolare n-dimensionale e proprietà dell’integrale.
4.2 Teorema di riduzione degli integrali multipli.
4.3 Teorema del cambio di variabile negli integrali multipli.
5-Equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui.
5.1 Teorema di caratterizzazione delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui di ordine n.
5.2 Teorema di esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy.
5.3 Metodo per la determinazione di n soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea a coefficienti costanti.
5.4 Metodo per la determinazione di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea.
Bibliografia
Qualsiasi testo di Elemnti di Analisi Matematica 2.
Metodi didattici
Lezioni orali ed esrcitazioni
Modalità verifica apprendimento
Esame finale
Altre informazioni
E’ vivamente consigliata la frequenza del corso.
