Obiettivi formativi
Conoscenze e capacita' di comprendere.
Lo studente dovra' avere una comprensione approfondita dei fondamenti teorici del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di piu' variabili
e dovra' essere in grado di padroneggiare le relative tecniche di calcolo.
Competenze.
Lo studente dovra' essere in grado di applicare le conoscenze acquisite alla risoluzione di problemi anche mediamente elaborati relativi al programma svolto e di comprendere l'uso di tali conoscenze nell'ambito dei corsi applicativi.
Autonomia di giudizio.
Lo studente dovra' essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o da altri.
Capacita' comunicative.
Lo studente dovra' essere in grado di comunicare in modo chiaro, preciso e completo contenuti matematici relativi al programma svolto,
anche al di fuori di un contesto di solo calcolo.
Prerequisiti
Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile reale. Algebra lineare.
Contenuti dell'insegnamento
Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di piu' variabili reali.
Programma esteso
1) Preliminari di algebra lineare e topologia.
Algebra lineare.
Spazi vettoriali. Norma e prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Applicazioni lineari e matrici. Autovalori e diagonalizzazione delle matrici simmetriche. Forme quadratiche.
Elementi di topologia di R^N.
Punti interni, di accumulazione e di frontiera. Insiemi aperti ed insiemi chiusi. Insemi compatti e teorema di Heine-Borel. Insiemi connessi.
2) Calcolo differenziale.
Limiti e continuita'.
Limiti per funzioni di piu' variabili reali e loro proprieta'. Funzioni continue di piu' variabili reali e loro proprieta'.
Funzioni differenziabili.
Derivate direzionali e parziali. Funzioni differenziabili. Gradiente e suo significato. Piano tangente, vettori tangenti e normali al grafico di una funzione. Differenziabilita' della funzione composta. Funzioni con gradiente nullo. Funzioni di classe C^1 e loro proprieta'. Teorema di inversione locale. Diffeomorfismi e cambi di variabile.
Funzioni di classe C^k.
Funzioni k-volte differenziabili. Funzioni di classe C^k. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange.
Ottimizzazione di funzioni.
Massimi e minimi locali e globali, punti di sella. Condizioni necessarie e/o sufficienti per l' ottimizzazione di funzioni di classe C^2.
Varieta' di R^N.
Teorema della funzione implicita. Varieta' in R^N. Ottimizzazione di funzioni su varieta' e moltiplicatori di Lagrange.
3) Curve e campi vettoriali.
Curve orientate.
Curve rettificabili e lunghezza di una curva. Omotopia di curve orientate e insiemi semplicemente connesi.
Campi vettoriali.
Integrale curvilineo di un campo vettoriale. Campi conservativi e potenziali. Campi irrotazionali.
4) Integrali multipli
Integrazione.
Integrazione su rettangoli compatti. Proprieta' delle funzioni integrabili e dell'integrale. Insiemi misurabili e misura secondo Peano-Jordan. Integrazione su insiemi misurabili secondo Peano-Jordan. Formule di riduzione per integrali multipli.
Cambio di variabili negli integrali multipli.
Formula di cambiamento di variabili per trasformazioni lineari. Jacobiano e suo significato geometrico. Teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli. Cambiamento di coordinate polari piane, sferiche e cilindriche.
Bibliografia
Appunti delle lezioni e materiale tratto dai seguenti testi:
1) G. Prodi "Lezioni di Analisi Matematica 2", Bollati Boringhieri, Torino 2011
2) A. Browder "Mathematical Analysis. An introduction", Springer, New York 1996
3) W. Fleming "Functions of several variables", Springer, New York 1977
4) W. Rudin "Principles of Mathematical Analysis", McGraw--Hill, New York 1976
5) J. L. Taylor "Foundations of analysis", American Mathematical Society, Providence RI 2012.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni.
Modalità verifica apprendimento
L'esame testa la comprensione dei fondamenti teorici e l'assimilazione delle tecniche di calcolo. Consiste di una prova scritta e di un successivo colloquio orale.
Altre informazioni
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