ANALISI STOCASTICA
cod. 1005339

Anno accademico 2013/14
1° anno di corso - Primo semestre
Docente
Settore scientifico disciplinare
Probabilità e statistica matematica (MAT/06)
Field
Attività formative affini o integrative
Tipologia attività formativa
Affine/Integrativa
48 ore
di attività frontali
6 crediti
sede: PARMA
insegnamento
in - - -

Obiettivi formativi

Lo studente otterrà una solida base teorica dei processi stocastici. Sarà in grado di studiare in modo quantitativo e qualitativo delle semplici equazioni differenziali stocastiche, in ambiti di ricerca e in ambiti industriali (applicazioni alla finanza e più in generale alla modellazione di sistemi con noise).

Prerequisiti

Spazi misurabili e di probabilità, lemmi di Borel-Cantelli, variabili aleatorie, speranza matematica, convergenze di variabili aleatorie, spazi L^p

Contenuti dell'insegnamento

Nella prima parte del corso si introduce il concetto di processo stocastico a tempi continui, discutendo sulle varie problematiche che ne derivano e sviluppando gli strumenti necessari allo studio di tali oggetti. In particolare viene costruito il moto browniano.
La seconda parte è dedicata alla costruzione dell'integrale stocastico e allo studio delle sue proprietà, tramite il concetto di martingala.
Nella terza parte viene data una introduzione alle equazioni differenziali stocastiche.

Programma esteso

Processi stocastici, vettori gaussiani, legge di un processo, processi gaussiani, modificazioni, equivalenza per p.s., teorema di estensione di Kolmogorov, lemma di Doob, indipendenza;
moto browniano, teorema di regolarità di Kolmogorov, esistenza e unicità del BM, proprietà e trasformazioni elementari, variazione quadratica, il BM non è bv, hölderianità, integrale di Stieljes ed estensioni, processi adattati a filtrazioni;
speranza condizionale, esistenza e unicità e proprietà elementari;
processi progressivamente misurabili, densità dei processi semplici, definizione dell'integrale stocastico per processi M², proprietà elementari, isometria di Itô;
martingale a tempi discreti e continui, tempi d'arresto, optional stopping theorem, disuguaglianza massimale, optional sampling theorem, continuità dell'integrale stocastico, variazione quadratica dell'integrale stocastico;
definizione dell'integrale stocastico per processi M²_loc, continuità, integrazione fino ad un tempo di arresto, definizione di martingala locale;
formula di Itō;
equazioni differenziali stocastiche; BM geometrico, processo di Orstein-Uhlenbeck; processi di Itō; esistenza e unicità delle soluzioni forti per SDE.

Bibliografia

Francesco Caravenna - Moto browniano e analisi stocastica
Daniel Revuz, Marc Yor - Continuous Martingales and Brownian Motion
Ioannis Karatzas, Steven E. Shreve - Brownian Motion and Stochastic Calculus
David Williams - Probability with Martingales
Paolo Baldi - Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni
Bernt Øksendal - Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications

Metodi didattici

48 ore di lezioni frontali. Durante le lezioni vengono affrontati tutti gli argomenti in modo formale e dando dimostrazione di quasi tutti gli enunciati. Viene prestata grande attenzione alle motivazioni e vengono illustrati alcuni esempi di applicazioni. Non sono previste esercitazioni vere e proprie, ma vengono regolarmente assegnati degli homework che gli studenti sono invitati a svolgere in autonomia ed eventualmente chiedere a ricevimento.

Modalità verifica apprendimento

L’esame consiste in un colloquio orale diviso in tre parti. Nella prima parte lo studente dovrà risolvere un problema complesso assegnato qualche giorno prima dal docente. Nella seconda parte sarà sottoposto ad alcuni semplici esercizi. Nell'ultima parte dovrà enunciare e dimostrare uno dei risultati teorici del corso.
Per superare l'esame lo studente deve mostrare correttezza del linguaggio e del formalismo matematico. Deve conoscere bene gli oggetti matematici e i risultati del corso e saperli usare con naturalezza. Deve avere la capacità di condurre dimostrazioni in autonomia.

Altre informazioni

Il materiale didattico disponibile sul sito lea.unipr.it comprende i video e le lavagnate delle lezioni, che sono svolte tramite tablet computer