ANALISI SUPERIORE 1

1. Spazi di Sobolev.

Derivate distribuzionali e derivate deboli. Spazi di Sobolev W^{k,p}.
Gli spazi di Sobolev come spazi di Banach. Duale degli spazi di Sobolev.
Approssimazione locale e globale di funzioni di Sobolev. Lo spazio W_0^{k.p}.
Calcolo differenziale per funzioni di Sobolev. Caratterizzazione delle funzioni
di Sobolev mediante rapporti incrementali. Funzioni di Sobolev di una variabile.
Teoremi di estensione e tracce.
Teoremi di immersione: disuguaglianze di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev e Morrey.
Teoremi di immersione per spazi di Sobolev di ordine superiore.
Compattezza debole e teorema di Rellich-Kondrachov. Disuguaglianze di Poincare'.

2. Teoria spettrale per operatori compatti e autoaggiunti.

Operatori compatti. Teoria di Fredholm. Rappresentazione spettrale di operatori
compatti e autoaggiunti.

3. Equazioni ellittiche lineari del secondo ordine; teoria L^2

Soluzioni deboli, forti e classiche. Problema di Dirichlet. Formulazione variazionale.
Teorema di Lax-Milgram. Esistenza ed unicita' delle soluzioni deboli.
Regolarità H^2 delle soluzioni deboli.