Obiettivi formativi
Conoscenze e capacita' di comprendere.
Lo studente dovra' avere una comprensione approfondita dei fondamenti teorici degli argomenti del programma e dovra' essere in grado di padroneggiarne le relative tecniche di calcolo.
Competenze.
Lo studente dovra' essere in grado di applicare le conoscenze acquisite alla risoluzione di problemi anche mediamente elaborati relativi al programma svolto e di comprendere l'uso di tali conoscenze nell'ambito dei corsi applicativi.
Autonomia di giudizio.
Lo studente dovra' essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o da altri.
Capacita' comunicative.
Lo studente dovra' essere in grado di comunicare in modo chiaro, preciso e completo contenuti matematici relativi al programma svolto, anche al di fuori di un contesto di solo calcolo.
Prerequisiti
Analisi matematica I e Analisi Matematica 2 1° modulo
Contenuti dell'insegnamento
Calcolo differenziale per funzioni di piu' variabili reali.
Curve in R^n e forme differenziali lineari.
Successioni e serie di funzioni.
Equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Programma esteso
1) Preliminari di algebra lineare e topologia.
Algebra lineare e geometria: Spazi vettoriali. Norma e prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy--Schwarz. Applicazioni lineari e matrici. Autovalori e diagonalizzazione delle matrici simmetriche. Forme quadratiche.
Spazi metrici ed euclidei: Punti interni, di accumulazione e di frontiera. Insiemi aperti ed insiemi chiusi. Successioni e spazi metrici completi. Insiemi compatti ed insiemi connessi. Funzioni continue tra spazi metrici. Operatori lineari limitati. Funzioni Lipschitziane e principio delle contrazioni.
2) Calcolo differenziale.
Limiti e continuita': Limiti per funzioni di piu' variabili reali e loro proprieta'. Funzioni continue di piu' variabili reali e loro proprieta'.
Differenziabilita': Derivate direzionali e parziali. Funzioni differenziabili. Gradiente e suo significato. Piano tangente, vettori tangenti e normali al grafico di una funzione. Differenziabilita' della funzione composta. Funzioni con gradiente nullo. Funzioni di classe C^1 e loro proprieta'. Teorema di inversione locale. Diffeomorfismi e cambi di variabile.
Funzioni di classe C^k: Funzioni k--volte differenziabili. Funzioni di classe C^k. Teorema di Schwartz. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange.
Ottimizzazione di funzioni: Massimi e minimi locali e globali, punti di sella. Condizioni necessarie e/o sufficienti per l' ottimizzazione di funzioni di classe C^2.
Varieta' di R^N: Teorema della funzione implicita. Varieta' in R^N. Ottimizzazione di funzioni su varieta' e moltiplicatori di Lagrange.
3) Integrali multipli
Teoria della misura: Plurirettangoli e volume. Insiemi misurabili e misura secondo Peano--Jordan. Insiemi trascurabili e caratterizzazione degli insiemi misurabili. Condizioni sufficienti per la misurabilita'.
Integrazione: Partizioni misurabili e somme inferiori e superiori. Integrale e funzioni integrabili. Formule di riduzione per integrali multipli. Formula di cambiamento di variabili per trasformazioni lineari. Jacobiano e suo significato geometrico. Teorema di cambiamento
di variabili negli integrali multipli. Cambiamento di coordinate polari piane, sferiche e cilindriche.
4) Forme differenziali lineari
Curve in R^N: proprieta' generali, equivalenze di curve e cammini. Lunghezza di una curva.
Forme differenziali: definizione, integrazione di forme differenziali lineari su cammini. Forme chiuse, forme esatte e loro primitive. Condizioni equivalenti all'esattezza in termini di integrali lungo cammini. Forme differenziali su aperti stellati o semplicemente connessi.
5) Successioni e serie di funzioni
Convergenza puntuale ed uniforme. Scambio dei limiti per convergenza uniforme. Teorema del Dini per successioni monotone. Convergenza totale delle serie. Serie di potenze e serie di Taylor. Serie di Fourier.
Teoremi sulla convergenza della successione delle derivate o delle primitive.
6) Equazioni differenziali
Equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Problema di Cauchy: teorema di esistenza e unicità locale. Prolungamento delle soluzioni ed esistenza in grande. Analisi qualitativa delle soluzioni. Dipendenza continua dai dati iniziali. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni differenziali del primo ordine in forma normale.
Equazioni e sistemi differenziali lineari a coefficienti costanti. Esponenziale di una matrice. L'operatore di evoluzione per sistemi lineari.
Bibliografia
G. Prodi: Lezioni di Analisi Matematica II. ETS Pisa (1974);
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa: Analisi Matematica 2. Zanichelli (2009);
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi matematica due. Liguori (1996).
W. Fleming: Functions of several variables, Springer, New York (1977);
W. Rudin: Principles of Mathematical Analysis, McGraw--Hill, New York (1976);
J. L. Taylor: Foundations of analysis, American Mathematical Society, Providence RI (2012).
Metodi didattici
L'insegnamento si svolge attraverso lezioni frontali in cui si affrontano aspetti sia teorici che applicativi. Le esercitazioni, svolte in collaborazione con gli studenti, consentono di verificare la comprensione dell'insegnamento impartito e le competenze acquisite da parte degli
studenti stessi.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell’apprendimento avviene prevalentemente attraverso una verifica finale consistente in una prova scritta seguita da una prova orale. Lo studente può accedere alla prova orale solo se supera la prova scritta.
Per il superamento della prova scritta lo studente dovrà rispondere ad alcune domande aperte sugli argomenti trattati nel corso, dimostrando di possederne conoscenza adeguata. Lo studente dovrà dimostrare abilità di calcolo e capacità di collegamento tra le diverse conoscenze.
La prova orale consiste in una discussione sullo svolgimento della prova scritta nonché in una verifica sull’apprendimento e comprensione degli aspetti teorici del corso.
In caso di superamento della verifica ad essa verrà attribuita una votazione che medierà le votazioni conseguite separatamente nelle due prove scritta ed orale; la votazione minima per il superamento della prova finale e' 18/30.
Altre informazioni
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