Obiettivi formativi
Conoscenze e capacita' di comprendere.
Al termine dell’attività formativa lo studente dovrebbe aver acquisito conoscenze e competenze relative
ala teoria della misura astratta ed alla probabilità.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione.
Attraverso le esercitazioni svolte in aula lo studente apprende come applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi concreti,
quali problemi di integrazione astratta, teoria della misura e calcolo delle probabilità.
Autonomia di giudizio.
Lo studente dovra' essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti da lui o da altri.
Capacita' comunicative.
Lo studente dovra' essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici
relativi al programma svolto, anche al di fuori di un contesto esclusivamente applicativo. Le lezioni frontali e il confronto diretto con il
docente favoriranno l'acquisizione da parte dello studente di un lessico scientifico specifico e appropriato.
Capacità di apprendimento.
Lo studente dopo aver seguito il corso sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze nell'ambito del calcolo delle probabilità e della teoria della misura e dell'integrazione, partendo dalle conoscenze basilari e fondamentali fornite dal corso. Sarà in grado
di consultare in modo autonomo testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni, al fine di affrontare
efficacemente l'inserimento nel mondo del lavoro o intraprendere percorsi di formazione a livello di laurea magistrale.
Prerequisiti
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Contenuti dell'insegnamento
1. Alcuni richiami di analisi combinatoria.
2. Assiomi della probabilità
3. Probabilità condizionata e indipendenza.
4. Probabilità in uno spazio numerabile.
5. Alcuni argomenti di teoria della misura.
Misure esterne. Costruzione di una misura. Teorema di Caratheodory. Misura di Lebesgue. Principali proprietà delle misure. Funzioni misurabili/variabili aleatorie. Funzioni integrabili. Teorema di convergenza monotona, Lemma di Fatou, Teorema di convergenza dominata. Spazi L^p. L^2 visto come spazio di Hilbert.
6. Variabili aleatorie (v.a.) indipendenti.
7. Distribuzioni di probabilità in R.
8. Distribuzioni di probabilità in R^n.
9. Funzioni caratteristiche e le loro proprietà.
10. Somma di v.a. indipendenti.
11. v.a. gaussiane.
12. Convergenza di v.a. (convergenza in probabilità, convergenza in distribuzione).
13. La legge dei grandi numeri.
14. Il teorema del limite centrale.
15. Speranza condizionata.
16 Martingale, sub- e supermartingale.
Programma esteso
1. Alcuni richiami di analisi combinatoria.
2. Assiomi della probabilità
3. Probabilità condizionata e indipendenza.
4. Probabilità in uno spazio numerabile.
5. Alcuni argomenti di teoria della misura.
Misure esterne. Costruzione di una misura. Teorema di Caratheodory. Misura di Lebesgue. Principali proprietà delle misure. Funzioni misurabili/variabili aleatorie. Funzioni integrabili. Teorema di convergenza monotona, Lemma di Fatou, Teorema di convergenza dominata. Spazi L^p. L^2 visto come spazio di Hilbert.
6. Variabili aleatorie (v.a.) indipendenti.
7. Distribuzioni di probabilità in R.
8. Distribuzioni di probabilità in R^n.
9. Funzioni caratteristiche e le loro proprietà.
10. Somma di v.a. indipendenti.
11. v.a. gaussiane.
12. Convergenza di v.a. (convergenza in probabilità, convergenza in distribuzione).
13. La legge dei grandi numeri.
14. Il teorema del limite centrale.
15. Speranza condizionata.
16 Martingale, sub- e supermartingale.
Bibliografia
J. Jacob, P. Protter: Probability essentials. Springer-Verlag, Berlino 2000.
D. Williams, Probability with martingales, Cambridge mathematical textbook, Cambridge University Press 1991.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni.
Durante le lezioni verranno presentati i risultati principali della teoria della misura e della teoria della probabilità. Verranno presentati anche alcuni esempi concreti. Le esercitazioni hanno invece lo scopo di mostrare allo studente le applicazioni dei risultati teorici e di aiutarlo a comprenderne l'importanza.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento avviene attraverso la
valutazione di una prova scritta e di una prova orale.
Nella prova scritta, verranno assegnati alcuni esercizi che serviranno per verificare la capacità dello studente di applicare i risultati teorici visti durante il corso in alcuni casi concreti. La parte orale servirà a valutare la conoscenza dei risultati astratti presentati nel corso, le loro dimostrazioni e l'acquisizione di un linguaggio specifico.
Altre informazioni
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