Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere: mediante le lezioni frontali tenute durante il corso, lo studente acquisirà i metodi e le conoscenze necessari ad analizzare una teoria matematica da un punto di vista storico e fondazionale, a contestualizzarla, a confrontarla con altre teorie di altri periodi storici o con obiettivi e problematiche differenti. Apprenderà, in particolare, alcuni metodi per affrontare problemi di natura pratica e teorica, costruzioni assiomatiche antiche e moderne, diversi ruoli della formalizzazione della matematica, metodi euristici che anticipano la teorizzazione, le dinamiche di crisi e rivoluzione che hanno fatto evolvere la matematica. Lo studente apprenderà la struttura di alcune grandi opere di sistemazione organica di conoscenze in un corpus unitario (es. Elementi di Euclide).
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Durante le lezioni sono previsti momenti in cui gli studenti applicano le conoscenze acquisite in problemi, costruzioni e dimostrazioni. In particolare, lo studente dovrà: applicare i metodi antichi; eseguire rigorose costruzioni e dimostrazioni esplicitando i criteri e i principi; confrontare i metodi usati in diversi settori della matematica.
Autonomia di giudizio:
Lo studente dovrà essere in grado di comprendere e valutare in maniera critica i punti essenziali di un metodo o di una teoria, di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni. Dovrà inoltre utilizzare le conoscenze acquisite per analizzare criticamente libri di testo, documenti e manuali riconoscendo dimostrazioni corrette e individuando ragionamenti fallaci e/o non coerenti da un punto di vista storico-epistemologico.
Capacità comunicative
Tramite le lezioni frontali e lavorando sia in autonomia che in gruppo, lo studente acquisisce il lessico specifico di diverse teorie matematiche antiche e moderne e la capacità di effettuare collegamenti e confronti, sia costruendo analisi longitudinali su uno stesso tema, sia confrontando due approcci diversi ad uno stesso problema. Ci si attende che, al termine del corso, lo studente sia in grado di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti i temi del corso sia ad un pubblico specializzato che ad un pubblico non specializzato in forma orale
Capacità di apprendimento
Lo studente che abbia frequentato il corso sarà in grado di approfondire le proprie conoscenze in materia di storia e fondamenti della matematica in modo autonomo, attraverso la consultazione di testi specialistici e riviste scientifiche o divulgative, effettuare approfondimenti in una prospettiva storica e/o didattica e di intraprendere percorsi di formazione successivi nell’ambito dei fondamenti, della storia e della didattica della Matematica.
Prerequisiti
Non vi sono propedeuticità obbligatorie.
Contenuti dell'insegnamento
Il corso si propone di fornire allo studente i criteri generali di analisi di una teoria matematica nel suo sviluppo storico e nei suoi aspetti fondazionali, con attenzione ai diversi criteri di rigore, ai metodi e al ruolo dell’intuizione, delle costruzioni, del formalismo e delle contaminazioni con altre discipline in alcune fasi cruciali del suo sviluppo storico.
Pertanto i contenuti proposti durante lo svolgimento delle lezioni riguardano: nella prima parte del corso, la matematica egizia, babilonese, indiana e araba pre-ellenica, gli Elementi di Euclide, alcune opere di Archimede e Apollonio, i problemi classici dell’Antichità, cenni a teoremi di Menelao e Pappo in geometrie diverse da quella euclidea; nella seconda parte del corso vengono presentati alcuni passaggi fondamentali verso gli approcci moderni alla matematica, con attenzione particolare alle geometrie non euclidee, il passaggio all’algebra simbolica e alla geometria cartesiana, lo sviluppo dei metodi e il problema dei fondamenti dell’Analisi, la geometria proiettiva, il programma di Klein, i Grundlagen di Hilbert, i teoremi di Gödel.
Programma esteso
CAP 1: METODI, FONDAMENTI E TEORIE DELLA MATEMATICA ANTICA
La matematica degli Egizi e dei Babilonesi.
La matematica greca: Talete, Pitagora e la sua scuola, la crisi degli incommensurabili. Zenone e i paradossi dell’infinito.
I tre famosi problemi dell’antichità greca: quadratura del cerchio, duplicazione del cubo, trisezione dell’angolo e storia delle soluzioni. Ippocrate e la quadratura delle lunule.
Euclide: gli “Elementi”, nozioni comuni, postulati e assiomi, teoria delle parallele, teoria delle proporzioni, grandezze, numeri primi, equivalenza nel piano e nello spazio. L’opera di Euclide alla luce della critica moderna. Archimede: dalla misurazione del cerchio al volume della sfera, il metodo di esaustione. Apollonio: sezioni coniche.
CAP 2: METODI, FONDAMENTI E TEORIE DELLA MATEMATICA MODERNA
La nascita dei concetti di limite, funzione, derivata, integrale e lo sviluppo del Calcolo. Sistemi numerici e proprietà in una prospettiva storica e assiomatizzazioni: i numeri naturali, i numeri interi, i numeri razionali, i reali.
Le geometrie non euclidee: aspetti storici ed epistemologici, i modelli di Poincaré e di Klein.
Il programma di Erlangen e la geometria delle trasformazioni: isometrie, similitudini, affinità, proiettività. Inversione circolare.
Il problema dei fondamenti della Geometria: gli assiomi di Hilbert, indipendenza, coerenza, completezza.
Diverse nozioni di completezza. Dialettica tra intuizione e formalismo nell'evoluzione dell'Analisi matematica e della assiomatica moderna. I problemi di Hilbert.
Cantor e l’infinito: cardinali e ordinali, ipotesi del continuo, teoria ingenua degli insiemi. Paradosso di Russell. Aritmetica di Peano. Formalizzazione e meccanizzazione del ragionamento matematico: da Leibniz alla logica formale, fino ai primi sviluppi dell’informatica. Completezza sintattica e semantica. Teoremi di incompletezza.
Bibliografia
Le slides proiettate durante il corso in formato PDF e tutto il materiale impiegato durante le lezioni e le esercitazioni (traduzioni di opere antiche in formato digitale, estratti da tesi di laurea, appunti con dimostrazioni dettagliate per approfondimenti) sono resi disponili agli studenti e condivisi sulla piattaforma Elly al termine di ogni lezione.
Inoltre gli studenti hanno a disposizione una versione multimediale degli Elementi di Euclide, con integrazioni con Geogebra per le costruzioni (ispirato alla traduzione italiana di Fabio Acerbi) disponibile all’indirizzo http://www.scienzaatscuola.it/euclide/
Oltre al materiale fornito dalla docente, che copre in maniera esauriente tutti i contenuti del corso, gli studenti con un interesse per gli aspetti storici possono approfondire sui testi:
Kline, M. (1999). Storia del pensiero matematico I. Dall'antichità al Settecento. Einaudi, Torino, 1999. (Ed. orig. 1972). ISBN 9788806154172
Kline, M (1999). Storia del pensiero matematico II. Dal Settecento a oggi. Einaudi, Torino, 1999 (Ed. orig., 1972).
C.B.Boyer (1990). Storia della Matematica, Mondadori, Milano. ISBN 8804334312
Metodi didattici
Il corso ha un peso di 9 CFU, che corrispondono a 72 ore di lezione. Le attività didattiche saranno condotte privilegiando lezioni frontali in aula, alternate a momenti di lavoro in gruppi. Durante le lezioni frontali vengono affrontati gli argomenti del corso da un punto di vista teorico e con esempi dettagliati di dimostrazioni, costruzioni e risoluzione di problemi, con alcune lezioni di raccordo in cui si propongono anche letture critiche di storici e filosofi della matematica o parti di lavori originali. A complemento dei metodi didattici finora esposti, vengono organizzati dei seminari di approfondimento sulle tematiche del corso. Le slides e i documenti utilizzate a supporto delle lezioni verranno caricate a inizio corso sulla piattaforma Elly; per scaricare le slide è necessaria l’iscrizione al corso on line. Tutto il materiale condiviso è considerato parte integrante del materiale didattico. Si ricorda agli studenti non frequentanti di controllare il materiale didattico disponibile e le indicazioni fornite dal docente tramite la piattaforma Elly, unico strumento di comunicazione impiegato per il contatto diretto docente/studente. Su tale piattaforma, settimanalmente, vengono indicati gli argomenti affrontati a lezione che andranno poi a costituire l’indice dei contenuti in vista della preparazione all’esame finale.
Modalità verifica apprendimento
La valutazione si svolgerà sulla base di una prova orale, con domande relative ai contenuti del corso; vengono poste alcune domande relative alla matematica antica e alcune relative alla matematica moderna . Le domande sono inizialmente relative a tematiche trasversali da trattare in modo longitudinale da parte del candidato; con questo primo tipo di domande si valuta la capacità comunicativa e la capacità di fare uso delle conoscenze puntuali per costruire una panoramica ampia ed esaustiva su un macrotema. A seguito si va ad approfondire un singolo aspetto chiedendo di produrre una dimostrazione, una risoluzione di un problema, una costruzione. Vengono poste al candidato tre domande generali con relativi approfondimenti. Ogni domanda corrisponde a 10 punti. La prova è superata se raggiunge un punteggio pari ad almeno 18 punti. La lode viene assegnata solo se il candidato mostra autonomia di giudizio e capacità comunicative più che buone
Altre informazioni
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