Obiettivi formativi
Lo studente al termine del corso:
Conoscerà diversi modelli di meccanica statistica di equilibrio e di non-equilibrio, imparando tecniche analitiche e numeriche per lo studio degli stessi modelli.
Saprà comprendere come questi possano essere utilizzati per studiare diversi sistemi sia in campo fisico che in applicazioni interdisciplinari in ambito biologico, sociale, economico ed informatico.
Saprà applicare le tecniche numeriche ed analitiche insegnate per analizzare i modelli di fisica statistica utilizzando, ad esempio, simulazioni numeriche.
Prerequisiti
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Contenuti dell'insegnamento
Il corso prevede lo studio di sistemi di varia natura che presentano comportamenti complessi tipicamente legati alla presenza di un elevato numero di gradi di libertà. Saranno illustrati diversi modelli teorici e tecniche, sia analitiche che numeriche, con l'obiettivo di trovare le leggi ‛fenomenologiche' che regolano il comportamento globale di tali sistemi. Inizialmente discuteremo le proprietà di alcuni modelli puramente statistici, poi ci dedicheremo alle dinamiche stocastiche, infine tratteremo la tematica dei grafi e delle reti complesse. Saranno discusse applicazioni nel campo della fisica, della biologia, dell’epidemiologia dell'informatica e dell'economia. Data l'interdisciplinarietà e le molteplici ricadute applicative degli argomenti trattati, il corso è consigliato per tutti gli indirizzi.
Programma esteso
1 Meccanica statistica di equilibrio.
Richiamo di teoria degli ensemble statistici, campo medio e transizioni di fase, finite size-scaling cumulanti di Binder. Descrizione di alcuni modelli classici rilevanti per la loro fenomenologia e per gli aspetti applicativi: applicazioni interdisciplinari del modello di Ising, modello di Potts, modello p-spin, modello di Hopfield, modello XY (vortici), catene polimeriche, percolazione.
2 Dinamica
Richiami sul metodo Montecarlo e bilancio dettagliato. Master-equation e cammini aleatori. Moto browniano equazioni di Langevin e Fokker-Planck. Sistemi fuori equilibrio. Legge di Arrhenius per sistemi con barriere di potenziale. Teoria della risposta lineare dipendente dal tempo. Trasporto ed equazione di Einstein. Produzione di entropia in dinamiche dipendenti dal tempo. Subdiffusione nei continuous time random walks e superdiffusione nei Lévy walks. Dinamiche lente: crescita dei domini magnetici nel modello di Ising. Esponente di scala dinamico e transizioni di fase dinamiche.
Modelli puramente dinamici. Modelli SIS e SIR per la diffusione di epidemie. Contact process e percolazione diretta come paradigma delle transizioni di fase dinamiche. Approssimazione dinamica di campo medio. Voter model. Modello di sand-pile e criticità autorganizzata. Applicazione del campo medio dinamico a modelli quantistici: equazione di Gutzwiller ed equazione di Schroedinger non lineare per lo studio di bosoni interagenti su reticolo. Sincronizzazione e modello di Kuramoto. Dinamiche di reti neurali.
3 Grafi e network complessi
Definizione di grafo. Elementari proprietà dei grafi: grado, raggio, matrice di adiacenza. Modelli lineari definiti su grafo: oscillatori armonici, reti elettriche, e cammini aleatori. Dimensione frattale e di dimensione spettrale. Diffusione anomala su frattali. Network complessi, small world e scale free. Modelli di Watts-Strogatz e di preferential attachment. Studio di alcuni modelli statistici su network complessi: percolazione e modelli epidemici.
4 Applicazioni.
Per i vari modelli e problematiche considerati illustreremo applicazioni sia in ambito fisico che interdisciplinare in campo biologico, epidemiologico, informatico e sociale.
Bibliografia
Appunti del corso e testi da concordare.
Metodi didattici
I vari argomenti verranno affrontati principalmente tramite lezioni in aula. Inoltre, agli studenti verrà proposto di effettuare una simulazione numerica al calcolatore su un argomento a scelta, in modo da familiarizzare in modo più approfondito con le tecniche numeriche e analitiche spigate a lezione. L’insegnante è disponibile al di fuori dell’orario di lezione per discutere di eventuali criticità incontrate nella svolgimento delle simulazioni numeriche.
Modalità verifica apprendimento
L’esame consiste in una prova orale su due punti. Prima lo studente illustrerà i risultati della simulazione numerica preparata durante il corso avvalendosi di slide al computer (15 pts). Poi ci sarà una breve interrogazione orale focalizzata sui concetti chiave del corso (15 pts).
Altre informazioni
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