ANALISI MATEMATICA 2

1) Preliminari di algebra lineare e topologia. Algebra lineare e geometria: spazi vettoriali, norma e prodotto scalare e disuguaglianza di Cauchy--Schwarz; applicazioni lineari e matrici, autovalori e diagonalizzazione delle matrici simmetriche, forme quadratiche; elementi di geometria analitica nel piano e nello spazio. Topologia: punti interni, di accumulazione e di frontiera; insiemi aperti ed insiemi chiusi; insemi compatti ed insiemi connessi. 2) Calcolo differenziale. Limiti e continuita': limiti per funzioni di piu' variabili reali; funzioni continue di piu' variabili reali; teoremi di Weierstrass e dei valori intermedi. Calcolo differenziale: derivate direzionali e parziali, funzioni differenziabili scalari e vettoriali, gradiente e suo significato; piano tangente, vettori tangenti e normali al grafico di una funzione; differenziabilita' della funzione composta; funzioni con gradiente nullo; funzioni differenziabili di classe C1. Teorema di inversione locale. Diffeomorfismi e cambi di variabile. Funzioni di classe C2: funzioni di classe C2, teorema di Schwarz e matrice Hessiana; formula di Taylor del secondo ordine; massimi e minimi locali e globali, punti di sella; condizioni necessarie e/o sufficienti per l'ottimizzazione di funzioni. Superfici: teorema della funzione implicita e moltiplicatori di Lagrange. 3) Curve e campi vettoriali. Curve orientate: semplici, chiuse, lisce e regolari; lunghezza di una curva e rettificabilita' delle curve lisce; curve equivalenti e ascissa curvilinea. Campi vettoriali: integrale curvilineo di un campo vettoriale; campi conservativi e potenziali; campi irrotazionali. 4) Integrali multipli Integrazione: insiemi misurabili e misura secondo Peano--Jordan; integrale e sue proprieta'; funzioni integrabili; formule di riduzione e teorema di Fubini. Cambio di variabili negli integrali multipli: teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli; significato geometrico dello Jacobiano per le trasformazioni lineari; cambiamento di coordinate polari piane, sferiche e cilindriche. 5) Equazioni Differenziali Ordinarie Equazioni differenziali ordinarie: definizioni ed esempi; teoremi di esistenza locale ed unicita'; soluzioni massimali e soluzioni globali; risoluzione di alcuni tipi di equazioni scalari (lineari, a variabili separabili, di Bernoulli). Equazioni differenziali lineari del secondo ordine: sistema fondamentale di soluzioni; formula di variazione delle costanti arbitrarie di Lagrange.