GEOMETRIA 1B
cod. 1007194

Anno accademico 2018/19
1° anno di corso - Secondo semestre
Docente
Settore scientifico disciplinare
Geometria (MAT/03)
Field
Formazione matematica di base
Tipologia attività formativa
Base
84 ore
di attività frontali
9 crediti
sede:
insegnamento
in ITALIANO

Obiettivi formativi

Conoscenze e capacità di comprendere: Il corso intende fornire le conoscenze di base della teoria spettrale degli operatori su uno spazio euclideo reale o complesso, della teoria delle forme bilineari e sesquilineari, dei prodotti scalari e hermitiani, e delle forme su uno spazio euclideo. Lo studente dovrebbe essere in grado di leggere e comprendere in modo autonomo risultati di Geometria Analitica e Algebra Lineare anche consultando monografie scientifiche.

Competenze: Lo studente dovrebbe saper risolvere esercizi di Geometria Analitica e Algebra Lineare anche di carattere non elementare.

Autonomia di giudizio: Lo studente dovrebbe essere in grado di costruire e sviluppare argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; inoltre dovrebbe saper riconoscere dimostrazioni corrette e individuare ragionamenti fallaci.

Prerequisiti

Geometria 1a

Contenuti dell'insegnamento

Spazio duale e trasposta di un'applicazione lineare. Spazi euclidei. Isometrie lineari e operatori unitari. Funzionali lineari e operatori aggiunti. Teoria spettrale degli operatori su uno spazio euclideo: operatori autoaggiunti e normali. Forme bilineari e sesquilineari. Prodotti scalari e hermitiani. Forme su spazi euclidei. Quadriche. Geometria affine e proiettiva (cenni).

Programma esteso

Spazio duale di uno spazio vettoriale e base duale. Spazio biduale. Annullatore di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale. Trasposta di un'applicazione lineare.
Forma canonica di Jordan. Teorema di Hamilton-Cayley.
Spazi vettoriali euclidei (reali o complessi): complemento ortogonale di un sottospazio. Isometrie lineari e operatori unitari: matrici unitarie e ortogonali. Rappresentazione di un funzionale lineare e aggiunto di un operatore. Operatori autoaggiunti: operatori simmetrici e hermitiani. Teoria spettrale degli operatori in uno spazio euclideo. Operatori normali. Teorema spettrale: caso degli operatori autoaggiunti e normali.
Forme bilineari e sesquilineari: cambio di base, congruenza, forma polare. Prodotti scalari e hermitiani: esistenza di basi ortogonali. Teorema di Sylvester, criterio di congruenza per matrici simmetriche. Forme su spazi euclidei: riduzione
ad assi principali, diagonalizzazione simultanea di una coppia di forme quadratiche.
Quadriche. Geometria affine e proiettiva (cenni).

Bibliografia

Serge Lang. Algebra lineare (Terza edizione). Bollati Boringhieri, 2014.
Paolo De Bartolomeis. Algebra lineare. La Nuova Italia, 1993.

Altre letture:
Morton L. Curtis. Abstract linear algebra. Springer, 1990.
Seymour Lipschutz, Marc Lipson. Algebra lineare. McGraw-Hill, 1992.
Ciro Ciliberto. Algebra lineare. Bollati Boringhieri, 1994.
Marco Abate. Geometria. McGraw-Hill, 1996.
Mauro Nacinovich. Elementi di geometria analitica. Liguori Editore, 1996.

Metodi didattici

Gli argomenti teorici del corso sono presentati tramite lezioni frontali e
corredati da esempi significativi, applicazioni, e numerosi esercizi.
Durante il corso vengono assegnati esercizi che vengono poi discussi e
commentati durante le ore di lezione.

Modalità verifica apprendimento

L'esame consta di una prova scritta, che prevede la soluzione di alcuni esercizi, e di una prova orale sugli argomenti teorici e le applicazioni
discussi durante il corso. L’accesso alla prova orale e’ sconsigliato nel caso in cui la prova scritta risulti insufficiente.
La votazione finale risulta essere una media ponderata tra la votazione della part scritta e di quella orale.

Altre informazioni

Parte del materiale didattico potrebbe essere presente su Elly.