Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere: Alla fine del percorso di insegnamento, lo studente dovrà conoscere le definizioni ed i risultati fondamentali riguardanti successioni, serie di funzioni ed in particolare di potenze, equazioni differenziali ordinarie (EDO), e dovrà essere in grado di comprendere come questi entrano nella risoluzione di problemi.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Grazie agli esercizi svolti in aula lo studente apprenderà come applicare le conoscenze teoriche acquisite alla risoluzione di problemi concreti. Inoltre lo studente dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per produrre dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identici a quelli già conosciuti ma chiaramente correlati ad essi, per la risoluzione di problemi anche mediamente elaborati, e di comprenderne le relazioni col materiale appreso in altri corsi, nonché di formulare problemi in forma matematica per una loro analisi e risoluzione.
Autonomia di giudizio: Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza delle dimostrazioni prodotte durante l'esame scritto, costruendo e sviluppando argomentazioni logiche con una chiara identificazione di assunti e conclusioni; dovrà riconoscere dimostrazioni corrette e di individuare ragionamenti fallaci.
Capacità comunicative. Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso, appropriato per un matematico in stadio intermedio di formazione, contenuti matematici relativi al programma svolto. Le lezioni frontali e il confronto diretto con il docente favoriranno l'acquisizione di un lessico scientifico specifico e appropriato.
Capacità di apprendimento. Lo studente dopo aver seguito il corso sarà in grado di approfondire autonomamente le proprie conoscenze negli ambiti trattati, partendo dalle conoscenze basilari e fondamentali fornite dal corso. Sarà in grado di consultare in modo autonomo testi specialistici, anche al di fuori degli argomenti trattati in dettaglio durante le lezioni, al fine di affrontare efficacemente problematiche complesse inerenti tali argomenti.
Prerequisiti
Analisi per funzioni di una variabile; algebra lineare; calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili.
Contenuti dell'insegnamento
Successioni e serie di funzioni. Equazioni differenziali ordinarie.
Programma esteso
- Successioni e serie di funzioni
Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Aspetti funzionali degli spazi di funzioni più importanti. Scambio limite-integrale. Serie di funzioni e di potenze: raggio di convergenza; convergenza uniforme, continuità e integrazione per serie.
- Equazioni differenziali
Sistemi non lineari del primo ordine e problemi di Cauchy. Regolarità. Esistenza e unicità in piccolo. Soluzioni massimali. Soluzioni in grande. Alcune tecniche di risoluzione. Sistemi lineari. Studio qualitativo di soluzioni di equazioni differenziali.
Bibliografia
È consigliato principalment il seguente testo,
E. Acerbi, G. Buttazzo: Secondo corso di Analisi Matematica. Pitagora, Bologna, 2016.
Può esser utilizzato a complemento qualunque testo di Analisi 2, come ad esempio,
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Lezioni di analisi matematica due, Zanichelli Matematica, Bologna, 2020.
W. Fleming: Functions of several variables. Second edition. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.
Metodi didattici
L’insegnamento si svolge attraverso lezioni tenute a distanza attraverso il programma Teams (si veda la pagina Elly del corso per maggiori dettagli ed i link per raggiungere il team didattico) in cui si affrontano aspetti sia teorici che applicativi. Le esercitazioni, svolte in collaborazione con gli studenti, consentono di verificare la comprensione dell’insegnamento impartito e le competenze acquisite da parte degli studenti stessi.
Le esercitazioni sono programmate in modo che gli studenti possano realizzare praticamente le soluzioni dei problemi delineati in forma teorica durante le lezioni.
Modalità verifica apprendimento
La verifica finale consiste in una prova scritta (nella quale non è permesso usufruire di alcun testo, calcolatore, o altro strumento di supporto) seguita da una prova orale.
Lo studente può accedere alla prova orale solo se supera la prova scritta (con votazione di almeno 15/30). Per il superamento della prova scritta lo studente dovrà rispondere ad alcune domande aperte (indicativamente 2 o 3 gruppi di quesiti da svolgere in 1,5/2 ore). Lo studente dovrà dimostrare abilità di calcolo e capacità di collegamento tra le diverse conoscenze; a tal fine, nella prova scritta potranno essere presenti esercizi di tipologie non esplicitamente trattate durante la lezione, in modo da verificare anche la capacità di rielaborazione delle conoscenze acquisite. Ad ogni domanda verrà attribuito un punteggio che tiene conto di correttezza di esecuzione e modalità di esecuzione.
La prova orale, che deve esser sostenuta in uno degli appelli della stessa sessione in cui lo studente ha superato la prova scritta (altrimenti il voto decadrà), consiste in una discussione sullo svolgimento della prova scritta nonché in una verifica dell'apprendimento e comprensione degli aspetti teorici del corso. Il voto finale è dato dalla media pesata del voto della parte scritta e della parte orale.
Altre informazioni
Si raccomanda agli studenti di iscriversi alla pagina del corso sul portale dedicato https://elly2020.smfi.unipr.it, canale privilegiato di comunicazione docente-studenti.
