Obiettivi formativi
Al termine del corso lo studente sarà in grado di:
- analizzare le proprietà geometriche di base di curve e superfici differenziabili nello spazio;
- distinguere le superfici a meno di isometrie;
- comprendere i passaggi logici delle dimostrazioni;
- esprimere con rigore i concetti appresi.
Prerequisiti
Il corso utilizza nozioni di algebra lineare, topologia e analisi, ovvero gli argomenti svolti nei corsi di Geometria 1a-1b, Geometria 2a, Analisi 1a-1b.
Contenuti dell'insegnamento
Geometria delle curve e delle superfici nello spazio.
Programma esteso
Coniche e quadriche: Definizione ed esempi. Condizioni di tangenza e asintoti. Centri e assi di simmetria. Classificazione.
Curve differenziali nello spazio: Definizione ed esempi. Lunghezza di una curva. Riparametrizzazione di una curva. Curve regolari. Formule di Frenet. Torsione e curvatura di una curva regolare. Torsione di una curva piana. Teorema fondamentale della teoria locale delle curve.
Superfici regolari: Definizione di superficie regolare nello spazio tridimensionale. Superfici grafico di una funzione. Superfici preimmagine di un valore regolare. Cambi di coordinate e funzioni lisce su superfici. Spazio tangente e differenziale di una funzione. Prima forma fondamentale e distorsione delle misure. Caratterizzazione della sfera tra le superfici regolari compatte. Campo normale e orientabilità.
Geometria della mappa di Gauss: Seconda forma fondamentale e curvatura. Significato geometrico della seconda forma fondamentale. Regolarità delle curvature. Hessiano di una funzione liscia. Lemma di Hilbert. Superfici di rotazione. Superfici rigate e sviluppabili. Superfici minime.
Geometria intrinseca: Isometrie. Parametrizzazioni conformi e parametrizzazioni che preservano le aree. Theorema Egregium. Derivata covariante e trasporto parallelo. Geodetiche. Geodetiche sulle superfici di rotazione. Le geodetiche come curve di minima distanza. Superfici a curvatura di Gauss costante. Teorema di Gauss-Bonnet (locale).
Bibliografia
[1] M. P. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Dover Publications, 2016.
[2] M. Abate, F. Tovena, Curve e Superfici, Unitext, Springer, Milano, 2016.
[3] M. Abate, C. de Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, McGraw-Hill Education, 2015.
Metodi didattici
Durante le lezioni frontali, in modalità tradizionale, gli
argomenti verranno presentanti in modo formale e rigoroso. Il corso darà particolare enfasi agli aspetti applicativi e di calcolo, pur non tralasciando
l'aspetto teorico. A tale scopo risultano particolarmente importanti le esercitazioni svolte in aula nelle quale lo studente impara ad applicare la
teoria vista a lezione alla risoluzione di un determinato problema concreto.
Modalità verifica apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta (due-tre esercizi da svolgere in due ore e mezza) e prova orale da svolgersi in data differente da concordare.
Altre informazioni
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