- Home
- Didattica
- I corsi di studio
- Corsi di laurea
ANALISI MATEMATICA 2
Obiettivi formativi
Conoscenze e capacità di comprendere:
Alla fine del percorso di insegnamento lo studente dovrà conoscere le definizioni ed i risultati fondamentali dell'analisi in più variabili e dovrà essere in grado di comprendere come questi entrano nella risoluzione di problemi.
Competenze:
Lo studente dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi anche mediamente elaborati, e di comprenderne l'uso nei corsi applicativi.
Autonomia di giudizio:
Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati fornitigli o da lui ottenuti.
Capacità comunicative:
Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso anche al di fuori di un contesto di calcolo.
Conoscenze e capacità di comprendere:
Alla fine del percorso di insegnamento lo studente dovrà conoscere le definizioni ed i risultati fondamentali dell'analisi in più variabili e dovrà essere in grado di comprendere come questi entrano nella risoluzione di problemi.
Competenze:
Lo studente dovrà essere in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi anche mediamente elaborati, e di comprenderne l'uso nei corsi applicativi.
Autonomia di giudizio:
Lo studente dovrà essere in grado di valutare la coerenza e correttezza dei risultati fornitigli o da lui ottenuti.
Capacità comunicative:
Lo studente dovrà essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso anche al di fuori di un contesto di calcolo.
Prerequisiti
E’ obbligatorio aver superato gli esami di Analisi Matematica 1 e Geometria.
E’ obbligatorio aver superato l’esame di Analisi Matematica 1 e Geometria.
Contenuti dell'insegnamento
1. Curve.
2. Funzioni vettoriali: continuità e limiti.
3. Calcolo differenziale in più variabili.
4. Integrali multipli.
5. Equazioni differenziali.
1-Topologia euclidea sullo spazio n-dimensionale reale.
2-Limite e continuità per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
3-Calcolo differenziale per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
4-Integrazione lungo curve.
5-Integrale di Riemann per funzioni di variabile vettoriale.
6-Equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui.
Programma esteso
1. Curve.
Preliminari (algebra lineare; coordinate polari e rotazioni nel piano). Curve parametriche (velocità e accelerazione; curve regolari). Curve in coordinate polari. Lunghezza di una curva (curve in forma polare; curve cartesiane; curve regolari a tratti). Riparametrizzazioni (elica cilindrica). Curvatura e torsione.
2. Funzioni vettoriali: continuità e limiti.
Funzioni reali di due variabili reali (insiemi di livello). Coordinate polari, sferiche e cilindriche (funzioni vettoriali). Elementi di topologia. Funzioni continue (teorema dei valori intermedi; funzioni lipschitziane e uniformemente continue; la funzione distanza da un insieme). Integrale di una funzione lungo una curva (integrale curvilineo di funzioni; integrale curvilineo di campi di vettori; integrale lungo la frontiera orientata di un insieme del piano). Forme quadratiche (criterio di Sylvester). Limiti di funzioni.
3. Calcolo differenziale in più variabili.
Derivate parziali (matrice Jacobiana; un importante controesempio; derivate direzionali). Funzioni differenziabili (infinitesimi e sviluppi di Taylor; differenziale; direzione di massima pendenza; teorema del differenziale totale; funzioni a valori vettoriali differenziabili). Operazioni con le derivate parziali. Derivate successive (teorema di Schwarz; formula di Taylor). Massimi e minimi locali (teorema di Fermat; natura dei punti stazionari; condizioni sufficienti in dimensione due e tre). Massimi e minimi vincolati (moltiplicatori di Lagrange in due variabili). Superfici nello spazio euclideo (moltiplicatori di Lagrange in tre variabili). Potenziali e integrali curvilinei (campi irrotazionali).
4. Integrali multipli.
Integrale su un rettangolo (formule di riduzione per integrali doppi). Integrazione su un insieme normale. Cambio di variabile (coordinate polari; un esempio di integrale improprio; trasformazioni implicite). Integrali in tre dimensioni (integrazione per fili, integrazione per strati, cambio di variabile).
5. Equazioni differenziali.
Esempi introduttivi. Il problema di Cauchy per equazioni e sistemi. Esistenza, prolungabilità e unicità delle soluzioni. Equazioni differenziali del primo ordine (equazioni lineari del primo ordine; equazioni a variabili separabili; equazioni di Bernoulli). Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti (variazione delle costanti). Sistemi lineari con coefficienti costanti.
1-Topologia euclidea sullo spazio n-dimensionale reale.
1.1 Prodotto scalare euclideo e sue proprietà.
1.2 Norma euclidea, sue proprietà e disuguaglianza di Schwarz.
1.3 Distanza euclidea, sue proprietà e sistema fondamentale di intorni di un punto.
1.4 Definizione di punto interno, di parte interna di un insieme, di insieme aperto e proprietà degli insiemi aperti.
1.5 Definizione di insieme chiuso e proprietà degli insiemi chiusi.
1.6 Definizione di punto di accumulazione, di punto isolato, di chiusura di un insieme, di punto di frontiera e di frontiera di un insieme.
2-Limite e continuità per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
2.1 Definizione di limite di una successione vettoriale, di limite di una funzione di variabile vettoriale a valori vettoriali, unicità del limite, e proprietà dei limiti.
2.2 Definizione di continuità per una funzione di variabile vettoriale a valori vettoriali e proprietà delle funzioni continue.
2.3 Insiemi compatti,loro caratterizzazione e teorema di Weierstrass.
3-Calcolo differenziale per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
3.1 Derivate parziali e derivate direzionali.
3.2 Differenziabilità per funzioni di variabile vettoriale a valori reali.
3.3 Teorema del differenziale totale.
3.4 Differenziabilità per funzioni di variabile vettoriale a valori vettoriali.
3.5 Differenziabilità delle funzioni composte.
3.6 Derivate parziali di ordine superiore e teorema di Schwarz.
3.7 Formula di Taylor arrestata al secondo ordine.
3.8 Punti stazionari e condizione necessaria affinché un punto sia di minimo o massimo relativo interno.
3.9 La matrice Hessiana e condizione sufficiente affinché un punto sia di minimo (massimo) relativo interno.
3.10 Punti stazionari vincolati.
4-Integrazione lungo curve.
4.1 Curve parametriche.
4.2 Lunghezza di una curva.
4.3 Integrali di prima e seconda specie.
5-Integrale di Riemann per funzioni di variabile vettoriale.
5.1 Definizione di funzione integrabile secondo Riemann su un insieme limitato regolare n-dimensionale e proprietà dell’integrale.
5.2 Teorema di riduzione degli integrali multipli.
5.3 Teorema del cambio di variabile negli integrali multipli.
6-Equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui.
6.1 Teorema di caratterizzazione delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie lineari a coefficienti continui di ordine n.
6.2 Teorema di esistenza ed unicità della soluzione del problema di Cauchy.
6.3 Metodo per la determinazione di n soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea a coefficienti costanti.
6.4 Metodo per la determinazione di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea.
Bibliografia
Qualsiasi testo di Elementi di Analisi Matematica 2.
Qualsiasi testo di Elementi di Analisi Matematica 2.
Metodi didattici
Lezioni a distanza in diretta streaming, integrate con dispense del corso. Attività di esercitazione on line.
La didattica si articolerà in lezioni frontali di teoria svolte dal docente alla lavagna e in esercitazioni atte ad illustrare ed applicare la teoria precedentemente svolta.
Modalità verifica apprendimento
Non sono previste prove in itinere.
E’ prevista una prova scritta finale della durata di tre ore e articolata in domande a risposta multipla ed esercizi a risposta aperta, sia di tipo computazionale che teorico. Dopo il superamento della prova scritta è previsto un colloquio orale obbligatorio che verte sulla discussione della prova scritta, sui risultati teorici utilizzati ed eventualmente sulla dimostrazione di uno dei risultati fondamentali.
Non sono previste prove in itinere.
E’ prevista una prova scritta finale della durata di tre ore e articolata in domande a risposta multipla ed esercizi a risposta aperta, sia di tipo computazionale che teorico. Dopo il superamento della prova scritta è previsto un colloquio orale obbligatorio che verte sulla discussione della prova scritta e sui risultati teorici utilizzati.
Altre informazioni
E’ vivamente consigliata la frequenza al corso ed alle esercitazioni.
E’ vivamente consigliata la frequenza del corso.
Attività Mutua
Altri insegnamenti
ANNO DI CORSO: 1
ANNO DI CORSO: 2
ANNO DI CORSO: 3

