Obiettivi formativi
Il corso ha come obiettivo quello di fornire allo studente non solo gli strumenti di base dell'algebra lineare e delle sue applicazioni alla geometria, ma anche quello di trasmettere allo studente la metodologia ed il linguaggio propri della matematica, che potranno essere applicati anche in altri campi.
Prerequisiti
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Contenuti dell'insegnamento
Il corso introduce lo studente alle nozioni di base dell'Algebra Lineare. In particolare: la teoria dei vettori, delle matrici, dei sistemi lineari e delle applicazioni lineari; la geometria analitica nello spazio, rette, piani e loro mutue posizioni.
Inoltre, il corso si propone di fornire allo studente nozioni matematiche di carattere generale.
Programma esteso
VETTORI NELLO SPAZIO
* Coordinate
* Punti o vettori
* Operazioni componente per componente
* Il prodotto scalare
* Lunghezze, distanze e ortogonalità
* La disuguaglianza di Cauchy--Schwartz
* Angolo tra vettori
* Il prodotto vettoriale
RETTE E PIANI
* Rette e piani
* Ortogonalità fra rette e piani
* Appartenenza
* Parallelismo
* Piani non paralleli
* Equazioni cartesiane di una retta
* Rette sghembe
* Rette e piani ortogonali
LO SPAZIO N-DIMENSIONALE
* Operazioni su vettori
* Il prodotto scalare nello spazio n-dimensionale
* Lunghezze, distanze, ortogonalità
* Angolo tra i vettori
MATRICI
* Definizione di matrice
* Operazioni sulle matrici
* Proprietà delle operazioni sulle matrici
* Prodotto di matrici
* Proprietà del prodotto e potenza di una matrice
* Matrici invertibili e matrice inversa
* Trasposta di una matrici: matrici simmetriche e antisimmetriche
* Matrici ortogonali
* Il determinante
* Proprietà del determinante
* Rango per minori
* Metodo degli orlati
SISTEMI LINEARI E MATRICI
* Sistemi di equazioni lineari
* Operazioni elementari
* Matrici e sistemi ridotti
* Insieme delle soluzioni
* Algoritmo di Gauss
* Rango di una matrice e sistemi lineari
* Metodo di Cramer
NUMERI COMPLESSI
* Forma cartesiana di un numero complesso
* Coniugio di un numero complesso
* Modulo di un numero complesso
* Forma polare o esponenziale di un numero complesso
* Operazioni sui complessi
SPAZI VETTORIALI
* Definizione di uno spazio vettoriale
* Definizione di un sottospazio vettoriale
* Combinazioni lineari e spazi generati
* Dipendenza e indipendenza lineare
* Basi, coordinate e dimensione
* Cambiamenti di base
* Spazio somma, somma diretta e formula di Grassmann
APPLICAZIONI LINEARI
* Prime definizioni
* Immagine e nucleo di un applicazione lineare
* Isomorfismi
* Matrici e applicazioni lineari
DIAGONALIZZAZIONE DI OPERATORI E MATRICI
* Autovalori e autovettori
* Il polinomio caratteristico
* Matrici diagonalizzabili
* Operatori diagonalizzabili
* Molteplicità algebrica e geometrica
* Condizioni per la diagonalizzabilità
Bibliografia
* L. Alessandrini, L. Nicolodi; "GEOMETRIA A"; Uni.Nova (Parma, 2002).
* L. Alessandrini, L. Nicolodi; "GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE, con esercizi svolti"; Uni.Nova (Parma 2012).
Metodi didattici
Principalmente lezioni frontali in aula. Alla teoria verranno affiancati esempi significativi e verranno proposti esercizi per consolidare le nozioni trattate.
Modalità verifica apprendimento
La verifica dell'apprendimento prevede un esame finale comprendente una prova scritta e un colloquio orale. Durante il corso sono previste due prove intermedie che valgono ai fini del superamento della prova scritta.
Altre informazioni
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