Obiettivi formativi
Fornire le nozioni di base dell'Analisi Matematica
Prerequisiti
Funzioni di piu' variabili A
Contenuti dell'insegnamento
Convergenza puntuale, convergenza uniforme, criterio di Cauchy, teorema di scambio dei limiti per una successione convergente uniformemente, rapporti fra<br />
convergenza e continuit\`a, derivabilit\`a, integrabilit\`a, completezza<br />
di spazi di funzioni continue e di funzioni limitate, teorema di<br />
Ascoli-Arzela`, polinomi di Bernstein, densita` dei polinomi in<br />
C([a,b]), serie di funzioni, convergenza totale, serie di potenze,<br />
raggio di convergenza, teorema di Cauchy-Hadamard, teorema di<br />
Abel, polinomi trigonometrici, approssimazione di una funzione con<br />
polinomi trigonometrici, coefficienti di Fourier, disuguaglianza<br />
di Bessel, convergenza puntuale e totale delle serie di Fourier,<br />
integrazione delle serie di Fourier.<br />
<br />
Equazioni differenziali.<br />
Forma normale, sistemi, problema di Cauchy, teorema di Cauchy-Lipschitz, lemma di Gronwall, condizioni sufficienti per l'esistenza globale, metodo di separazione delle<br />
variabili, studio qualitativo delle soluzioni, teorema di<br />
confronto, sistemi di equazioni differenziali lineari del primo<br />
ordine in forma normale, soluzioni linearmente indipendenti di<br />
sistemi omogenei, operatore di evoluzione, metodo di variazione<br />
delle costanti, equazioni lineari di ordine n e sistema<br />
associato, polinomi caratteristici di equazioni a coefficienti<br />
costanti, soluzione generale, esponenziale di una matrice.<br />
Integrali.<br />
Teoria della misura di Peano-Jordan in R^n e integrali multipli, teorema di riduzione degli integrali, teorema di cambiamento di variabile negli integrali, formule di Gauss-Green<br />
in dimensione 2 e loro conseguenze, teorema della divergenza.
Bibliografia
G. Prodi, Lezioni di Analisi Matematica. Parte II, ETS PISA;<br />
W. Rudin, Principi di Analisi Matematica, MCGRAW-HILL.