METODI MATEMATICI PER LA SCIENZA DEI MATERIALI
cod. 14695

Anno accademico 2009/10
2° anno di corso - Primo semestre
Docente
Settore scientifico disciplinare
Fisica teorica, modelli e metodi matematici (FIS/02)
Field
Altro
Tipologia attività formativa
Altro
32 ore
di attività frontali
4 crediti
sede:
insegnamento
in - - -

Obiettivi formativi

Fornire agli studenti le basi matematiche per lo studio degli spazi vettoriali e degli operatori lineari nella fisica classica e nella meccanica quantistica

Prerequisiti

Algebra Lineare

Contenuti dell'insegnamento

 Spazi lineari a dimensione finita <br />
Linearità e non linearità nei sistemi fisici. Spazi e sottospazi vettoriali. Dipendenza lineare, basi, componenti, dimensione. Cambiamenti di base. Somma, somma diretta ed intersezione di sottospazi. Prodotto diretto. <br />
Matrici e Determinanti <br />
Definizioni ed operazioni con le matrici. Algebra delle matrici. Commutatori ed anticommutatori. Determinanti, proprietà e tecniche di calcolo. Permutazioni e scomposizione in cicli. Polinomio caratteristico. <br />
Spazi Euclidei e Unitari <br />
Distanze, norme, prodotti scalari ed unitari. Spazi metrici, spazi lineari normati, unitari ed euclidei. Distanza euclidea e chimica. Disuguaglianze fondamentali, angoli, ortogonalità e sistemi ortonormali. Procedimento di Grahm-Schmidt. Matrice metrica, cambiamenti di base tra basi ortonormali. Proiezioni. Complemento ortogonale <br />
Funzionali ed operatori lineari <br />
Omomorfismi tra spazi vettoriali, definizioni e proprietà. Algebra degli operatori. Rappresentazione matriciale di un operatore lineare. Similitudine e cambiamento di base. Invarianti del polinomio caratteristico. Sottospazi invarianti. Autovalori, autovettori. Rappresentazione spettrale. Proiettori. <br />
Funzionali ed operatori lineari su spazi unitari <br />
Spazio duale, notazione di Dirac. Bras e kets. Teorema di Riesz-Fisher. Completezza. Hermitiano coniugato. Operatori hermitiani, unitari, normali e loro rappresentazione spettrale. Operatori commutanti. Operatori diagonalizzabili sulla stessa base. <br />
Spazi vettoriali a dimensione infinita <br />
Definizioni. Spazi di Hilbert separabili. Sistemi ortonormali completi. Serie di Fourier. Dominio. Funzionali ed operatori limitati e non limitati. Operatori hermitiani, autoaggiunti, isometrici ed unitari. Autovalori ed autovettori. Operatore risolvente. Spettro discreto, continuo e residuo. <br />
Applicazioni <br />
Operatore numero di fermioni e di bosoni. Spettro ed autovettori, operatori di creazione e distruzione. Oscillazioni armoniche di un network. Spettro del Laplaciano. Reticoli regolari ed invarianza per traslazione. Teoria di Huckel. Oscillazioni di un reticolo monodimensionale a cella semplice e composta. Modi normali di molecole biatomiche. Relazioni di dispersione. Modi ottici ed acustici Polinomi ortonormali. Relazioni di ricorrenza e relazioni di Rodriguez. Polinomi di Legendre, Hermite, Laguerre. <br />

Programma esteso

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Bibliografia

E. Onofri. 'Lezioni sulla teoria degli operatori Lineari', Edizioni Zara (1984) <br />
H. Margenau, G.M. Murphy 'The mathematics of Physics and Chemistry', Van Nostrand, Princeton (1961)

Metodi didattici

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Modalità verifica apprendimento

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Altre informazioni

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