Obiettivi formativi
Il corso si prefigge lo scopo di sviluppare la teoria delle distribuzioni e mostrare le sue applicazioni allo studio delle equazioni differenziali.
Prerequisiti
Analisi Superiore 1.
Contenuti dell'insegnamento
<strong>1. Richiami di Analisi Funzionale.</strong><br />
Spazi vettoriali topologici, Lo spazio L^p, lo spazio di Schwarz delle funzioni a decrescenza rapida.<br />
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<strong>2. Elementi della teoria delle distribuzioni.</strong><br />
Funzioni test e regolarizzazione. Il supporto di una funzione. Lo spazio D'. Distribuzioni come generalizzazione delle funzioni localmente integrabili. Estensione delle distribuzioni. Differenziazione di distribuzioni. Moltiplicazione di una distribuzione con una funzione liscia. Il supporto di una distribuzione. Lo spazio delle distribuzioni con supporto limitato. Sostituzione nelle distribuzioni. Primitive di una distribuzione. Le distribuzioni come derivate di funzioni continue. Il concetto di fissare una variabile nelle distribuzioni. Prodotto tensore di distribuzioni. Convoluzione tra distribuzioni.<br />
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<strong>3. La trasformata di Fourier.</strong><br />
La trasformata di Fourier nello spazio delle funzioni a decrescenza rapida. Proprietà principali della trasformata di Fourier. La trasformata di Fourier in L^2. Le distribuzioni temperate. Convoluzione di distribuzioni temperate. L'operazione di fissare una variabile nelle distribuzioni temperate. La trasformata di Fourier in S'. La trasformata di Fourier di distribuzioni con supporto limitato e la trasformata di Fourier della convoluzione tra due distribuzioni. La trasformata di Fourier del prodotto tensore di distribuzioni. Calcolo esplicito della trasformata di Fourier di alcune distribuzioni notevoli. Il ruolo della trasformata di Fourier nello studio delle equazioni differenziali con coefficienti costanti.<br />
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<strong>4. Equazioni differenziali lineari.</strong><br />
Relazione tra soluzioni classiche e soluzioni distribuzionali. Soluzioni fondamentali. Il metodo della discesa. Trasformazione di equazioni differenziali attraverso sostituzioni. ODE con un parametro. Problemi ai valori iniziali per distribuzioni. L'equazione delle onde.
Programma esteso
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Bibliografia
Z. Szmydt: Fourier transformation and linear differential equations, D. Reidel Publishing company Dordrecht-Holland 1977.<br />
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Dispense a cura del docente.
Metodi didattici
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Modalità verifica apprendimento
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Altre informazioni
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