Obiettivi formativi
In mancanza di un corso più avanzato successivo, questo insegnamento fornisce una panoramica rapida ma abbastanza completa delle tematiche principali della teoria della probabilità moderna, con particolare attenzione alla teoria delle martingale e dei processi di Markov.
Prerequisiti
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<li>Elementi di probabilità</li>
<li>Teoria della misura e dell'integrazione<br />
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Contenuti dell'insegnamento
Spazi di probabilità. Sigma-algebre. Variabili aleatorie. Legge indotta. Assolutà continuità. Proprietà della funzione di ripartizione. Lemma di misurabilità. Teorema di Skorokhod. Speranza matematica. Convergenza monotona, lemmi di Fatou, convergenza dominata e alla Scheffé. Disuguaglianza di Jensen. Norma L^p. Lemmi di Borel-Cantelli. Principio di inclusione-esclusione.<br />
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Disuguaglianza di Markov, Chebyshev e versione esponenziale. Trasformata di Legendre. Convergenza di variabili aleatorie. Uniforme integrabilità.<br />
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Speranza condizionale. Esistenza in L^2 (geometrica) e in L^1 (per densità). Proprietà. <br />
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Indipendenza di sigma-algebre. Legge forte dei grandi numeri (tramite lemma di Garsia, uniforme integrabilità, legge 0-1 di Kolmogorov).<br />
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Convergenza in legge. Funzione caratteristica. Teorema di Lévy. Thightness. Teorema del Limite Centrale. <br />
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Martingale. Integrale stocastico discreto. Tempi d'arresto. Processi arrestati. Optional stopping theorem. Teorema di convergenza delle martingale. Martingale chiuse e chiudibili. Teorema {\em downward} di Lévy e Legge dei Grandi Numeri.<br />
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Passeggiata aleatoria semplice simmetrica. Primo e ultimo istante di rientro in 0. Principio di riflessione.<br />
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Teorema di Radon-Nikodym. Teorema di Hewitt-Savage.<br />
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Martingale L^2, decomposizione di Doob, variazione quadratica. Convergenza per martingale L^2.<br />
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Processi di ramificazione. Probabilità di estinzione. Riscalamento esoenenziale.<br />
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Urna di Polya e processi di urna. Alcuni risultati di convergenza q.c.<br />
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Catene di Markov. Proprietà di Markov debole e forte. Classificazione degli stati. Misure invarianti.<br />
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Grandi deviazioni (cenni).
Programma esteso
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Bibliografia
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<li>D. Williams - Probability with Martingales - Cambridge University Press - 1991</li>
<li>Z. Brzezniak, T. Zastawniak - Basic Stochastic Processes - Springer 1999</li>
<li>J. Jacod, P. Protter - Probability Essentials - Springer 1999</li>
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Metodi didattici
L'insegnamento è stato tenuto dal vivo e registrato in audio/video nell'anno accademico 2006-07. Per gli anni successivi sono disponibili le lezioni registrate, quindi l'insegnamento è attivato in modalità <strong>teledidattica</strong>. Il docente è a disposizione per chiarimenti e ricevimenti.<br />
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L'esame è costituito dalla risoluzione di un piccolo numero di difficili esercizi di ricerca, per la quale gli studenti hanno a disposizione una settimana. Gli esercizi vengono poi discussi in un esame orale.
Modalità verifica apprendimento
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Altre informazioni
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