Obiettivi formativi
Fornire strumenti di calcolo con la variabile complessa, serie di funzioni e trasformate di Fourier e Laplace.
Prerequisiti
Conoscenza delle proprietà delle funzioni reali di una o più variabili reali
Contenuti dell'insegnamento
Successioni e serie di funzioni. Funzioni di variabile Complessa. Trasformate di Fourier e Laplace.
Programma esteso
SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Successioni di funzioni. Convergenza puntuale. Convergenza
uniforme. Criteri di Cauchy. Teorema di limitatezza. Teorema di scambio dei limiti (en). Teorema di continuità.
Teorema di integrabilità (en). Teorema di derivabilità.
Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme, assoluta. Criteri del resto n-esimo. Criteri di Cauchy.
Condizioni necessarie di Cauchy. Convergenza totale. Criterio di Weierstrass. Teoremi di limitatezza, continuità.
Teoremi di integrabilità e derivabilità per serie.
NUMERI COMPLESSI. Forma cartesiana, polare, esponenziale.
Potenze e radici n-esime. Le funzioni elementari in campo complesso.
FUNZIONI OLOMORFE. Derivabilità di funzioni complesse di variabile complessa. Condizioni di
Cauchy-Riemann e loro significato geometrico e cinematico. Differenziabilità in senso reale ed in senso
complesso. Proprietà della derivata. Derivate delle funzioni elementari. Teorema di De l’Hopital (en).
SERIE DI POTENZE. Raggio di convergenza. Derivabilità termine a termine. Serie di Taylor. Criterio di Abel.
Sviluppi di funzioni elementari. Funzioni analitiche reali.
SERIE DI FOURIER. Convergenza puntuale. Convergenza uniforme. Convergenza in media quadratica.
Disuguaglianza di Bessel. Identità di Parseval. Teorema di Fischer-Riesz.
Integrali dipendenti da parametro (en).
INTEGRALI CURVILINEI. Curve di Jordan. Teorema di Cauchy. Formula di rappresentazione integrale di
Cauchy. Teorema del valor medio. Principio del massimo. Teorema fondamentale dell’algebra. Teorema
fondamentale del calcolo integrale. Formula di rappresentazione integrale per le derivate successive. Teorema di
Morera. Il limite uniforme di funzioni olomorfe è una funzione olomorfa. Teorema di Liouville. Principio di
identità delle funzioni olomorfe.
SERIE DI LAURENT. Metodo dei coefficienti indeterminati per il calcolo dei primi coefficienti della serie di
Laurent.
Singolarità isolate. Classificazione. Caratterizzazioni. Singolarità isolata all’infinito. Classificazione.
Singolarità non isolate.
RESIDUI. Residui al finito. Residuo all’infinito. Teorema dei residui. Calcolo pratico dei residui nei poli.
VALORE PRINCIPALE. Valore principale secondo Cauchy di integrali impropri e teorema di calcolo. Lemma
del grande cerchio. Lemma di Jordan.
TRASFORMATA DI FOURIER (FT). Definizione per funzioni sommabili di variabile reale. FT della Gaussiana e altri esempi. Proprietà. Inversione. Formula di dualità. FT della convoluzione. (cenno a FT di funzioni a quadrato sommabile e teorema di Plancherel).
TRASFORMATA DI LAPLACE (LT). Definizione ed esempi. Proprietà. LT di segnali periodici. LT della funzione integrale. LT della convoluzione. Funzioni Gamma e Beta di Eulero. Inversione. Inversione di funzioni razionali.
Bibliografia
G.C. Barozzi , Matematica per l' Ingegneria dell' Informazione, ed. Zanichelli.
M.R. Spiegel , Variabili Complesse , collana Schaum's , Mc Graw-Hill.
Metodi didattici
Lezioni frontali seguite da verifiche dell'apprendimento.
Modalità verifica apprendimento
Prove scritte seguite da prove orali.
Altre informazioni
Nessuna
