CALCOLO I

1. Numeri naturali e numeri reali: estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo di un insieme di numeri reali.  La completezza dei numeri reali. Principio d'induzione. Coefficienti binomiali e formula del binomio di Newton
2. Proprieta' elementari delle funzioni reali.  Funzioni circolari e loro  inverse. Funzioni iperboliche e loro inverse. Grafici di funzioni elementari.
3. Intorni, punti interni, punti di accumulazione, insiemi aperti, insiemi chiusi.
Limiti: definizione,  teorema  di unicità del limite, limite delle restrizioni e limiti di successioni.  Teorema del limite per successioni. Operazioni sui limiti. Teorema del confronto. Limite di funzioni monotone. Definizione del numero "e". Limiti fondamentali e applicazioni.
4. Limiti di successioni: criterio della radice e del rapporto. Confronto dell'ordine di successioni tendenti ad infinito. Formula di Stirling
5. Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Classificazione delle discontinuità. Teorema di Weierstrass. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di continuità della funzione inversa. Cenno alla continuità uniforme, condizione di Lipschitz.
6.Calcolo differenziale: derivata, approssimazione lineare, retta tangente. Derivate delle funzioni elementari.  Regole di derivazione. Punti di non derivabilità. Derivate successive. Massimi e minimi relativi. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange. Intervalli di monotonia di una funzione. Teorema di De L'Hopital. Convessità e condizioni equivalenti.
7. Confronto locale tra funzioni: i simboli di Landau. Formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange. Sviluppi delle funzioni elementari, sviluppi del prodotto e della composizione.