Obiettivi formativi
Il corso intende fornire le basi matematiche indispensabili per un corso di laurea scientifico.
Contenuti dell'insegnamento
Nozioni Preliminari
Insiemi: relazione di appartenenza. Sottoinsiemi, insieme delle parti, insieme vuoto. Operazioni con insiemi: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, complementare. Insiemi dati per elencazione, per proprietà caratteristica. Diagrammi di Eulero-Venn.
Proposizioni e valori di verità. Connettivi e quantificatori.
Prodotto cartesiano di due o più insiemi.
Insiemi numerici. Polinomi. Equazioni e disequazioni.
Insiemi numerici (N, Z, Q, R, C) e loro proprietà principali.
Operazioni, chiusura rispetto alle operazioni. Proprietà delle operazioni: proprietà commutativa ed associativa di addizione e moltiplicazione, proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. Opposto e reciproco. Elementi neutri. Valore assoluto. Ordinamento totale degli insiemi N, Z, Q, R. Compatibilità dell'ordine con le operazioni. Proprietà dei numeri reali: la completezza. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo.
Polinomi. Operazioni sui polinomi, potenze. Radici di polinomi di primo e secondo grado. Equazioni e disequazioni polinomiali e col valore assoluto, razionali e irrazionali.
Sistemi di equazioni lineari: metodi elementari di risoluzione.
Geometria della retta e del piano.
Numeri reali e geometria della retta.
Geometria del piano cartesiano. Distanza fra due punti del piano cartesiano.
Rappresentazione analitica di rette, di circonferenze e di coniche (in forma canonica). Condizioni di parallelismo e di perpedicolarità di due rette. Distanza di un punto da una retta.
Funzioni:
Definizioni e proprietà. Dominio, codominio, immagine. Immagine inversa. Grafico di una funzione.
Grafici delle funzioni elementari. Funzione identica, funzioni costanti, funzioni lineari e affini, potenze con esponente fissato y = xa, valore assoluto, segno, parte intera, parte frazionaria. Funzioni polinomiali.
Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di funzioni. Funzione inversa.
Funzioni monotòne, strettamente monotòne. Funzioni pari, dispari. Inversa di una funzione monotòna. Monotonia delle potenze.
Potenze a esponente razionale.
Funzioni esponenziale e logaritmo e loro grafici. Proprietà delle potenze. Funzione esponenziale: i casi a > 1 ed a compreso tra 0 e 1. La funzione logaritmo come inversa dell'esponenziale. Cambiamenti di base. Equazioni e disequazioni con le funzioni esponenziale e logaritmo.
Misura degli angoli in radianti. Definizione, proprietà e grafici delle funzioni circolari elementari. Formule di addizione, duplicazione, bisezione. Inverse delle funzioni circolari, loro grafici e proprietà. Equazioni e disequazioni goniometriche.
Limiti di funzioni e Funzioni Continue.
Funzioni reali di variabile reale. Dominio e codominio. Limiti agli estremi del dominio.
Funzioni continue in un punto, in un insieme. Definizione di limite. Teoremi dell'unicità del limite e della permanenza del segno. Proprietà delle funzioni continue. Esistenza del limite per funzioni monotòne. Teorema di esistenza degli zeri e teorema di Bolzano–Weierstrass.
Successioni.
Successioni definite per ricorrenza o con assegnato termine generale. Applicazioni in dinamica di popolazione.
Definizione di limite per una successione. Studio di successioni monotòne. Operazioni con i limiti. Limite di alcune particolari successioni.
Calcolo differenziale e Studi di Funzione.
Rapporto incrementale, derivata in un punto. Interpretazione geometrica della derivata e retta tangente. Relazione fra derivabilità e continuità. Funzione derivata. Derivata di somma, prodotto, rapporto e composizione di due funzioni. Derivate delle funzioni elementari. Teoremi sulle derivate (Rolle, Lagrange, Cauchy).
Segno della derivata e monotonia.
Studio di funzioni. Problemi di massimo e minimo. Concavità e convessità. Derivata seconda e punti di flesso.
Teorema di de l'Hôpital. Applicazione al calcolo dei limiti.
Approssimazione locale di funzioni con polinomi. Teorema di Taylor e formula di Taylor con resto.
Calcolo Integrale.
Aree e misura. Il problema inverso della derivazione. Integrale di Cauchy per funzioni di una variabile reale. Condizioni necessarie e sufficienti per l'integrabilità.
Integrabilità delle funzioni monotòne e delle funzioni continue.
Funzione integrale. Proprietà: additività e monotonia. Media di una funzione continua. Teorema della Media.
Insieme delle primitive di una funzione continua. Relazione fra primitive, funzione integrale e aree. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Metodi di integrazione: sostituzione, parti.
Bibliografia
Per il recupero delle nozioni di base indispensabili per affrontare un corso di matematica a livello universitario sono caldamente consigliati i testi:
- Roberto D'Ercole, Matematica per i precorsi, Pearson Education.
- Giuseppe De Marco, Analisi Zero, Decibel–Zanichelli.
Libri di testo consigliati per il corso (in ordine crescente di difficoltà)
- P. Marcellini, C. Sbordone, Elementi di Calcolo, Liguori.
- M. Abate, Matematica e Statistica (Le basi per le scienze della vita), McGraw-Hill
Eserciziario:
Alessandro Zaccagnini & Maria Gabriella Rinaldi, Esercizi per i corsi di Istituzioni di Matematica, Azzali Editori, Parma.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni
