Obiettivi formativi
Si intende completare la preparazione di base sull'analisi complessa e sulla teoria delle funzioni analitiche.
La parte principale del corso è costituita dalla teoria degli operatori lineari negli spazi finito dimensionali, con i necessari approfondimenti di algebra lineare e con l’esposizione di importanti temi correlati (ad esempio informazioni di base su topologia e spazi metrici). In questo quadro si riprenderanno anche quelle nozioni sulla serie di Fourier e sulla approssimazione mediante polinomi che in modo naturale conducono all’allargamento verso gli spazi infinito dimensionali, e in particolare verso gli spazi di funzioni. Gli argomenti verranno presentati nella prospettiva di applicazioni a problemi tipici della fisica matematica e soprattutto di un primo contatto con la meccanica quantistica. In questo quadro rientra anche una sommaria trattazioni delle equazioni differenziali nel campo complesso, con applicazioni all'equazione di Schroedinger.
Prerequisiti
Nozioni di base dell'analisi reale, del calcolo infinitesimale, dell'algebra e della geometria
Contenuti dell'insegnamento
Richiami sui campi numerici.
Analisi complessa. Nozioni di base sulle funzioni analitiche.
Singolarità, residui, sviluppi in serie, prolungamento analitico, integrali definiti.
Varietà lineari, dipendenza e indipendenza lineare, dimensione.
Spazi vettoriali astratti.
Spazi reali e complessi. Isomorfismo.
Prodotto scalare. Ortogonalità.
Spazi metrici. Cenni di topologia.
Basi, sistemi ortogonali, ortogonalizzazione.
Cambiamento di base.
Funzionali lineari e teorema di Riesz.
Formalismo di Dirac.
Successioni vettoriali e convergenza.
Applicazioni lineari e matrici.
Nozione di operatore lineare astratto.
Rappresentazione di operatori.
Diagonalizzazione.
Operatore aggiunto.
Autovalori e autovettori.
Operatori hermitiani, unitari, normali.
Sistema completo di operatori hermitiani.
Proiettori.
Risolvente e spettro.
Funzioni di operatore.
Alcune disuguaglianze.
Polinomi e funzioni ortogonali.
Approssimazione mediante funzioni. Spazi L1 e L2.
Richiami sulla serie di Fourier. Trasformata di Fourier.
Equazioni differenziali complesse.
Funzioni speciali.
Applicazioni all'equazione di Schroedinger.
Programma esteso
Richiami sui campi numerici.
Analisi complessa. Nozioni di base sulle funzioni analitiche.
Singolarità, residui, sviluppi in serie, prolungamento analitico, integrali definiti.
Varietà lineari, dipendenza e indipendenza lineare, dimensione.
Spazi vettoriali astratti.
Spazi reali e complessi. Isomorfismo.
Prodotto scalare. Ortogonalità.
Spazi metrici. Cenni di topologia.
Basi, sistemi ortogonali, ortogonalizzazione.
Cambiamento di base.
Funzionali lineari e teorema di Riesz.
Formalismo di Dirac.
Successioni vettoriali e convergenza.
Applicazioni lineari e matrici.
Nozione di operatore lineare astratto.
Rappresentazione di operatori.
Diagonalizzazione.
Operatore aggiunto.
Autovalori e autovettori.
Operatori hermitiani, unitari, normali.
Sistema completo di operatori hermitiani.
Proiettori.
Risolvente e spettro.
Funzioni di operatore.
Alcune disuguaglianze.
Polinomi e funzioni ortogonali.
Approssimazione mediante funzioni. Spazi L1 e L2.
Richiami sulla serie di Fourier. Trasformata di Fourier.
Equazioni differenziali complesse.
Funzioni speciali.
Applicazioni all'equazione di Schroedinger.
Bibliografia
V. Smirnov, Corso di Matematica superiore, vol.III,2 (MIR)
E. Onofri, Teoria degli Operatori lineari, http://www.fis.unipr.it/home/enrico.onofri/#Lezioni
F.G.Tricomi, Metodi Matematici della Fisica (Cedam)
M.Spiegel, Variabili Complesse (Schaum, Etas)
E.Kolmogorov, S.Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e dell'analisi funzionale (ER)
Metodi didattici
Lezioni ed esercitazioni in aula.
Modalità verifica apprendimento
Prova finale scritta ed orale.
Altre informazioni
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