Obiettivi formativi
ANALISI MATEMATICA 1:
Il corso è finalizzato a introdurre i concetti di base dell'Analisi Matematica. Gli obbiettivi formativi non si esauriscono nella semplice acquisizione di strumenti di calcolo, ma pongono l'accento su una più profonda comprensione critica delle idee e del metodo di pensiero matematico. Tali obiettivi potranno essere ritenuti raggiunti se lo studente alla fine del corso avrà migliorato le proprie capacità di apprendimento degli strumenti matematici, la capacità di applicare le nozioni teoriche alla risoluzione di problemi ed esercizi in maniera autonoma, nonché quella di comunicare con chiarezza di esposizione e di pensiero i concetti appresi.
GEOMETRIA e ALGEBRA:
Conoscenze e capacità di comprendere:
teoria basilare dell'Algebra Lineare e della Geometria dello spazio.
Competenze:
a) risolvere sistemi di equazioni lineari;
b) diagonalizzare matrici;
c) risolvere semplici esercizi di geometria analitica lineare nello spazio; d) operazioni su vettori e matrici.
Capacità comunicative e di apprendimento: esprimersi correttamente con linguaggio matematico.
Prerequisiti
Matematica preuniversitaria di base
Contenuti dell'insegnamento
Il corso di Matematica è suddiviso in due moduli paralleli: il modulo di Analisi Matematica 1, corrispondente a 6 CFU e tenuto dal Prof. Massimiliano Morini, e il modulo di Geometria e Algebra, corrispondente a 4 CFU e tenuto dalla Prof.ssa Lucia Alessandrini.
Nel modulo di Analisi Matematica 1 verranno introdotti e approfonditi i concetti principali dell'analisi di funzioni di una variabile reale: continuità, limiti, derivate e integrali.
Il modulo di Geometria e Algebra inizia con una parte di Geometria Euclidea nello spazio (vettori, rette e piani), mentre la seconda parte studia matrici e sistemi lineari. Nella terza parte del corso si studiano Rn e i suoi sottospazi vettoriali, le applicazioni lineari e il problema della diagonalizzazione degli operatori.
Programma esteso
ANALISI MATEMATICA 1:
-Richiami di teoria degli insiemi
-Proprietà dei numeri razionali
-Assioma di continuità (o di separazione) e proprietà dei numeri reali
- Minoranti, maggioranti, estremo inferiore e superiore di un insieme
- Richiami sulle funzioni reali: definizione di funzione iniettiva, suriettiva, invertibile e monotòna;
funzioini composte; definizione e proprietà della funzione valore assoluto; prima e seconda
disuguaglianza triangolare
-Estremo inferiore e superiore di una funzione
- Limiti di funzione: motivazione euristica, definizione rigorsa.
- Proprietà dei limiti: teoremi della somma, del prodotto e del rapporto. Problema delle forme
indeterminate
- Funzioni continue e relazione tra la nozione di limite e quella di continuità.
- Teoremi sulle funzioni continue: teoremi sulla somma, prodotto, rapporto e composizione di
funzioni continue; Teorema degli Zeri; Teorema del valor Medio; Teorema di Weierstrass
- Limiti notevoli e loro utilizzo nella risoluzione delle forme indeterminate
- Derivata di una funzione: motivazione geometrica e definizione analitica - Esempi di funzioni non derivabili
-Rapporti tra continuità e derivabilità.
- Calcolo delle derivate di alcune funzioni elementari, mediante la definizione.
- Regole di derivazione e loro applicazione al calcolo della derivata di funzioni generali.
- Ricerca dei punti di minimo e di massimo relativo: teorema di Fermat
- Teoremi di Rolle e di Lagrange
- Conseguenze del Teoorema di Lagrange: legame tra la monotonìa di una funzione
- Studio della convessità/concavità di una funzione
- Studi di funzione
-Nozione di primitiva di una funzione e definizione di integrale indefinito
- Lista di integrali elementari
-Calcolo di integrali indefiniti più complessi: regole di sostituzione e di integrazione per parti
- Nozione di integrale definito come misura dell'area del sottografico della funzione
- Teorema Fondamentale del calcolo integrale e legame con gli integrali indefiniti
- Regole di sostituzione e di integrazioni per parti per integrali definiti.
GEOMETRIA e ALGEBRA:
GEOMETRIA LINEARE NELLO SPAZIO
1. Vettori nello spazio. Coordinate. Punti o vettori. Operazioni componente per componente. Il prodotto scalare. Lunghezze, distanze, ortogonalità. La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angolo fra vettori. Il prodotto vettoriale in R3.
2. Rette e piani. Ortogonalità fra rette e piani. Appartenenza. Parallelismo. Equazioni cartesiane di una retta. Rette sghembe; rette e piani ortogonali. Cenni sulle superfici quadriche.
VETTORI, MATRICI, SISTEMI LINEARI
3. Lo spazio n-dimensionale Rn. Operazioni sui vettori. Proprietà delle operazioni. Il prodotto scalare in Rn. Proprietà del prodotto scalare. Lunghezze, distanze, ortogonalità. Angolo fra vettori.
4. Matrici. Operazioni sulle matrici. Proprietà delle operazioni sulle matrici. Prodotto di matrici. Proprietà del prodotto e potenza di una matrice. Matrici invertibili e matrice inversa. Trasposta di una matrice: matrici simmetriche e antisimmetriche. Matrici ortogonali. Il determinante di una matrice quadrata. Proprietà del determinante. Rango per minori.
5. Sistemi lineari e matrici. Sistemi di equazioni lineari. Operazioni elementari. Matrici e sistemi ridotti. Insieme delle soluzioni di un sistema ridotto. Algoritmo di Gauss e riduzione. Rango di una matrice e sistemi lineari: Teorema di Rouchè-Capelli. Mutua posizione di rette e piani nello spazio.
6. Spazi vettoriali e sottospazi (in Rn). Combinazioni lineari e spazi generati. Lineare dipendenza e indipendenza. Basi, coordinate e dimensione. Sottospazi vettoriali di Rn.
APPLICAZIONI LINEARI E DIAGONALIZZAZIONE
7. Applicazioni lineari. Immagine e nucleo di un'applicazione lineare. Isomorfismi. Matrici e applicazioni lineari, e loro proprietà.
8. Autovalori, autovettori e diagonalizzazione. Matrici del cambiamento di base e loro proprietà. Il problema della diagonalizzazione: operatori diagonalizzabili. Autovalori e autovettori. Il polinomio caratteristico. Condizioni per la diagonalizzabilità. Diagonalizzazione di matrici simmetriche.
Bibliografia
ANALISI MATEMATICA 1:
1) E. Acerbi, G. Buttazzo: "Matematica preuniversitaria di base". Pitagora Editrice, Bologna.
2) E. Acerbi, G. Buttazzo: "Analisi Matematica ABC". Pitagora Editrice, Bologna.
3) A. Guerraggio: "Matematica per le Scienze". Editore: Pearson
GEOMETRIA E ALGEBRA:
1) ALESSANDRINI, L., NICOLODI, L., GEOMETRIA A, ED. UNINOVA (PR) 2004.
Metodi didattici
ANALISI MATEMATICA 1:
Lezioni frontali e assegnazione di esercizi per casa con lo scopo di stimolare l'acquisizione operativa dei concetti appresi in classe
GEOMETRIA e ALGEBRA:
La modalità didattica privilegiata è la lezione frontale in cui vengono proposti gli argomenti dal punto di vista formale, corredati da esempi significativi, da applicazioni e numerosi esercizi. Gli esercizi sono uno strumento essenziale in Algebra Lineare; in aggiunta alle lezioni, saranno proposti esercizi da svolgere in modo guidato.
Modalità verifica apprendimento
ANALISI MATEMATICA 1:
Esame scritto
GEOMETRIA e ALGEBRA:
La verifica dell'apprendimento avviene attraverso una prova scritta, che può essere sostituita da due prove scritte parziali svolte durante il corso. Nella prova scritta, attraverso gli esercizi proposti, lo studente dovrà dimostrare di possedere le conoscenze di base relative all' Algebra Lineare e alla Geometria Euclidea dello spazio
Altre informazioni
- - -
