Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire la conoscenza di alcuni elementi di base della teoria classica delle equazioni ellittiche lineari del secondo ordine e della teoria del potenziale. <br />
Prerequisiti
Precedenti corsi obbligatori di Analisi Matematica e Geometria Differenziale. <br />
Contenuti dell'insegnamento
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1 Preliminari. <br />
Integrazione su varieta'. Teorema della divergenze e formule di Green. Formula di coarea. <br />
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2. Funzioni armoniche. <br />
Definizioni ed esempi. Proprieta' della media. Principi del massimo e del minimo debole e forte. Regolarita' e stime locali sulle derivate. Disuguaglianza di Harnack. Convergenza e compattezza. <br />
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3. Equazione di Laplace. <br />
Il problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace. Formula di rappresentazione di Green. Funzione di Green e sue proprieta'. Nucleo di Poisson per la palla e per il semispazio. Funzioni subarmoniche e superarmoniche e loro proprieta'. Principio del massimo e del minimo. Soluzioni secondo Perron-Wiener-Brelot. Barriere. Misure armoniche eteorema di Brelot. <br />
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3. Principio del massimo. <br />
Principio del massimo di Hopf ed applicazioni. <br />
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4. Equazione di Poisson. <br />
Il problema di Dirichlet per l'equazione di Poisson. Potenziale Newtoniano. Regolarita' Holderiana delle soluzioni. <br />
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5. Teoria di Schauder. <br />
Stime di Schauder. Esistenza di soluzioni $C^{2,alpha}$ con il metodo di continuita'. <br />
Bibliografia
Appunti delle lezioni e materiale tratto dai seguenti testi: <br />
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1) D. Gilbarg - N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Springer-Verlag, Berlin 1998; <br />
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2) J. Jost, Partial differential equations, Springer-Verlag, New York 2002; <br />
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3) Ya-Zhe Chen - Lan-Cheng Wu, Second order elliptic equations and elliptic systems, Translations of Mathematical Monographs vol. 174, American Mathematical Society, Providence RI 1998; <br />
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4) Qing Han - Fanghua Lin, Elliptic partial differential equations, Courant Lecture Notes no.1, American Mathematical Society, Providence RI 1997.
