Obiettivi formativi
Fornire allo studente gli strumenti per:
a) risolvere sistemi di equazioni lineari;
b) diagonalizzare matrici (simmetriche);
c) risolvere semplici esercizi di geometria analitica lineare nello spazio;
d) operazioni su vettori e matrici.
Prerequisiti
Precorso. L'esame di Geometria e' propedeutico a quello di Analisi Matematica 2.
Contenuti dell'insegnamento
Algebra lineare e geometria analitica.
Programma esteso
1. Spazi vettoriali reali e complessi. Sottospazi vettoriali: somma e intersezione. Combinazione lineare di vettori: dipendenza/indipendenza lineare. Generatori, basi e dimensione di una spazio vettoriale. Formula di Grassmann.
2. Determinanti: definizione tramite le formule di Laplace e proprieta' fondamentali. Teorema di Binet. Operazioni elementari di riga e colonna su matrici. Calcolo della matrice inversa. Rango di una matrice.
3. Sistemi lineari. Metodo di Gauss-Jordan e teorema di Rouche'-Capelli.
4. Applicazioni lineari. Definizione di nucleo e di immagine; teorema fondamentale sulle applicazioni lineari. Matrice associata ad una applicazione lineare e regola di cambiamento di base. Isomorfismi e applicazioni inverse.
5. Endomorfismi di uno spazio vettoriale: autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore. Endomorfismi diagonalizzabili.
6. Prodotti scalari. Complemento ortogonale di un sottospazio. Processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt. Rappresentazione di isometrie tramite matrici ortogonali. Il gruppo ortogonale. Diagonalizzazione di matrici simmetriche: teorema spettrale. Criterio di positivita' per prodotti scalari. Cenni al caso complesso.
7. Elementi di geometria analitica dello spazio. Equazioni parametriche e cartesiane di una retta. Posizione reciproca di due rette; rette sghembe. Equazione di un piano. Prodotto scalare canonico e distanza. Prodotto vettore e sue proprieta' fondamentali. Distanza di un punto da un piano e da una retta.
8. Complementi di algebra e/o geometria.
Bibliografia
F. Capocasa, C.Medori: "Corso di Geometria", ed. S.Croce.
Metodi didattici
Lezioni (alla lavagna).
Modalità verifica apprendimento
Prova scritta (predeuta da un test) e una prova orale.
Altre informazioni
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