GEOMETRIA 1

Campo dei numeri complessi: forma trigonometrica ed esponenziale.
Calcolo vettoriale: somma di vettori moltiplicazione per un numero reale, prodotto scalare e prodotto vettoriale.
Riferimenti e coordinazione nel piano e nello spazio. Cambiamenti di riferimento. Equazioni parametriche e cartesiane di rette e piani. Parallelismo e ortogonalità. Distanze ed angoli.
Somma e prodotto fra matrici. Determinante e rango di una matrice. Teorema di Binèt. Matrici invertibili. Sistemi lineari. Teorema di Rouchè-Capelli.
Spazi vettoriali e sottospazi. Basi e dimensione. Somma e somma diretta di sottospazi. Relazione di Grasmann.
Applicazioni lineari e matrci associate. Nucleo ed immagine di una applicazione lineare. Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Diagonalizzabiltà.
Prodotto scalare euclideo. Basi ortonormali. Matrici ortogonali ed isometrie. Classificazione delle isometrie nel piano e nello spazio.Teorema spettrale reale.
Triangolarizzazione di un endomorfismo.
Prodotti scalari e prodotti hermitiani. Teorema di Sylvester.
Teoria psettrale euclidea ed hermitiana: aggiunto di un endomorfismo, endomorfismi normali. Teorema spettrale complesso. Teorema di scomposizione polare di un automorfismo.
Definizione e proprietà fondamentali di coniche e quadriche. Riduzione a forma canonica.
Definizione di spazio affine e di affinità.
Definizione di spazio proiettivo. Applicazioni proiettive. Omografie.