ANALISI MATEMATICA 1

CONOSCENZE PRELIMINARI: algebra elementare; trigonometria; geometria analitica; potenze razionali; esponenziali e logaritmi; funzioni elementari.

PROGRAMMA
LOGICA: proposizioni e predicati; insiemi; funzioni; relazioni d'ordine e di equivalenza.
INSIEMI NUMERICI: numeri naturali e principio di induzione; calcolo combinatorio e probabilità elementare; numeri interi e razionali; numeri reali; numeri complessi e radici n-esime.
FUNZIONI REALI: estremi di funzioni reali; funzioni monotone; funzioni pari e dispari; potenze; valore assoluto; funzioni trigonometriche; funzioni iperboliche; grafici di funzioni reali.
SUCCESSIONI: cenni di topologia; successioni e loro limiti; teoremi di confronto e teoremi algebrici; continuità; successioni monotone; teoremi di Bolzano-Weierstrass e di Cauchy; esempi fondamentali; il numero di Nepero; successioni definite ricorsivamente.
FUNZIONI CONTINUE: limiti di funzioni; continuità; prime proprietà delle funzioni continue; funzioni continue su un intervallo (zeri, valori intermedi); teorema di Weierstrass; funzioni uniformemente continue, teorema di Heine-Cantor, funzioni lipschitziane; infinitesimi.
DERIVATE: definizione di derivata; prime proprietà; operazioni algebriche sulle derivate; derivate e proprietà locali delle funzioni; teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy; forme indeterminate, teorema di de l'Hôpital, formule di Taylor e vari resti, sviluppi asintotici; funzioni convesse; studio qualitativo delle funzioni.
INTEGRAZIONE: costruzione dell'integrale e prime proprietà; primitive; teorema fondamentale del calcolo integrale; metodi di integrazione; integrali impropri; integrazione delle funzioni razionali.
SERIE: definizione di serie e prime proprietà; criteri di convergenza per serie a termini non negativi; serie a termini di segno alternato.