ANALISI MATEMATICA 1

1) Numeri reali e complessi
Dai numeri razionali ai numeri reali. Non esistenza della radice quadrata nel campo razionale. Assioma di completezza di Dedekind. Massimo, minimo, estremo superiore ed estremo inferiore. Proprietà archimedea. Densità dei razionali. Funzioni continue, teorema degli zeri. Polinomi.
Principio di induzione, disuguaglianza di Bernoulli.
Numeri complessi: forma algebrica e forma trigonometrica, formula di De Moivre, radici. Il teorema fondamentale dell'algebra.

2) Successioni numeriche.
Limiti di successioni. Algebra dei limiti. Teoremi del confronto e della permanenza del segno. Successioni monotone. Numero di Nepero e altri limiti notevoli. Teorema di Bolzano-Weierstass. Successioni di Cauchy e completezza dei reali.
Serie convergenti, divergenti ed irregolari. Condizione necessaria per la convergenza. Serie a termini positivi: criteri del confronto, del rapporto e della radice. Serie a segni alterni: criterio di Leibnitz. Serie a termini di segno qualunque: convergenza e convergenza assoluta.

3) Limiti e continuità per funzioni di una variabile reale.
Limiti finiti ed infiniti, limiti all'infinito. Algebra dei limiti e teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Alcuni limiti notevoli.
Funzioni continue. Algebra delle funzioni continue. Il teorema della permanenza del segno. Continuità della funzione inversa e della funzione composta. Continuità delle funzioni elementari. Funzioni continue in un intervallo: il teorema dei valori intermedi e il teorema di Weierstrass. Uniforme continuità e teorema di Heine-Borel.

4) Calcolo differenziale per funzioni di una variabile.
Definizione di derivata e suo significato geometrico. Regole di derivazioni e derivate delle funzioni elementari. I teoremi di Fermat, Rolle e Lagrange e loro conseguenze. Derivate successive. Formula di Taylor con resto di Peano e Lagrange. Massimi e minimi relativi. Calcolo di primitive: primitive di funzioni razionali e le regole di integrazione per parti e per sostituzione.

5) Calcolo integrale per funzioni di una variabile.
Definizione di integrale di Riemann e suo significato geometrico. Proprietà dell'integrale definito. Integrabilità delle funzioni continue. Teorema della media e teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali generalizzati. Relazione tra serie ed integrali generalizzati.