ANALISI MATEMATICA 2

1. Curve.
Preliminari (algebra lineare; coordinate polari e rotazioni nel piano). Curve parametriche (velocità e accelerazione; curve regolari). Curve in coordinate polari. Lunghezza di una curva (curve in forma polare; curve cartesiane; curve regolari a tratti). Riparametrizzazioni (elica cilindrica). Curvatura e torsione.
2. Funzioni vettoriali: continuità e limiti.
Funzioni reali di due variabili reali (insiemi di livello). Coordinate polari, sferiche e cilindriche (funzioni vettoriali). Elementi di topologia. Funzioni continue (teorema dei valori intermedi; funzioni lipschitziane e uniformemente continue; la funzione distanza da un insieme). Integrale di una funzione lungo una curva (integrale curvilineo di funzioni; integrale curvilineo di campi di vettori; integrale lungo la frontiera orientata di un insieme del piano). Forme quadratiche (criterio di Sylvester). Limiti di funzioni.
3. Calcolo differenziale in più variabili.
Derivate parziali (matrice Jacobiana; un importante controesempio; derivate direzionali). Funzioni differenziabili (infinitesimi e sviluppi di Taylor; differenziale; direzione di massima pendenza; teorema del differenziale totale; funzioni a valori vettoriali differenziabili). Operazioni con le derivate parziali. Derivate successive (teorema di Schwarz; formula di Taylor). Massimi e minimi locali (teorema di Fermat; natura dei punti stazionari; condizioni sufficienti in dimensione due e tre). Massimi e minimi vincolati (moltiplicatori di Lagrange in due variabili). Superfici nello spazio euclideo (moltiplicatori di Lagrange in tre variabili). Potenziali e integrali curvilinei (campi irrotazionali).
4. Integrali multipli.
Integrale su un rettangolo (formule di riduzione per integrali doppi). Integrazione su un insieme normale. Cambio di variabile (coordinate polari; un esempio di integrale improprio; trasformazioni implicite). Integrali in tre dimensioni (integrazione per fili, integrazione per strati, cambio di variabile).
5. Equazioni differenziali.
Esempi introduttivi. Il problema di Cauchy per equazioni e sistemi. Esistenza, prolungabilità e unicità delle soluzioni. Equazioni differenziali del primo ordine (equazioni lineari del primo ordine; equazioni a variabili separabili; equazioni di Bernoulli). Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti (variazione delle costanti). Sistemi lineari con coefficienti costanti.